domingo, 29 de noviembre de 2015

El plano de Moore

Uno de los espacios topológicos que aparecen en libros de topología es el plano de Moore, probablemente más famoso por el nombre, Moore, que por su posible utilidad. El espacio $(X,\tau)$ está definido por $X=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y\geq 0\}$ y la topología se define a partir de bases de entornos de cada punto. Si  $(x,y)\in X$, con $y>0$, tomamos las bolas euclídeas centradas en $(x,y)$ e incluidas en $X$; si  $y=0$, tomamos
$$\beta_{(x,0)}=\{B_r(x,r)\cup \{(x,0)\}: r>0\}.$$ Cada elemento básico es una bola euclídea en $X$ tangente en $(x,0)$ junto con el punto $(x,0)$.

Un primer ejercicio es probar que, efectivamente, se define así un espacio topológico, es decir, que las familias $\beta_{(x,y)}$ satisfacen todas las propiedades. Un segundo ejercicio es sobre topologías relativas. Si $A=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y >  0\}$, entonces $\tau_{|A}$ es la topología usual. Esto sucede porque la base de entornos que define la topología de Moore es también de la topología usual: recordar que las bolas centradas en un punto son base de entornos con la topología usual, pero si de ellas tomamos aquellas bolas con radio menor que un $r_0$, también lo son. En nuestro caso, si $y > 0$, tomamos $r_0=y$. Por otro lado, si $B=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y =  0\}$, entonces $\tau_{|B}$ es la topología discreta. Esto se debe a que cuando intersecamos $\beta_{(x,0)}$ con $B$ (para obtener una base de entornos de $\tau_{|B}$, entonces obtenemos sólo un elemento, a saber, $\{\{(x,0)\}\}$, que es base de entornos de la topología discreta.

viernes, 20 de noviembre de 2015

Topología del orden a derechas

Consideramos en ${\mathbb R}$ la topología del orden a derechas, es decir, aquélla cuya base de entornos para $x$ es  $\beta_x=\{V_x:=[x,\infty)\}$. Estudiamos la convergencia de algunas sucesiones:
  1. La sucesión  $(-1/n)$ no converge a $x=0$ porque ningún elemento de la sucesión pertenece  $V_0$.
  2. La sucesión $(1/n)\rightarrow -2$ porque  $(x_n)\subset V_{-2}$.
  3. Una sucesión  $(x_n)$ acotada inferiormente por  $\alpha$ satisface $(x_n)\rightarrow x$ para todo $x\leq \alpha$ porque $(x_n)\subset V_x$.
  4. La sucesión de números naturales $(n)$ converge a cualquier $x\in{\mathbb R}$. Si $\nu=E[x]+1$, donde $E[x]$ es la parte entera de $x$, entonces  $n\in V_x$ para $n\geq\nu$.
  5. Con un argumento similar, toda sucesión no acotada superiormente converge a cualquier número real .

miércoles, 11 de noviembre de 2015

Sistemas de entornos para alguna topología

En la topología usual del ${\mathbb R}$ los intervalos abiertos juegan un papel decisivo. Por ejemplo, son base de abiertos, o base de entornos (si contiene al punto). En general, y como tiene que ser, cuando trabajamos con la topología euclídea de ${\mathbb R}$ nos olvidamos de 'abiertos', 'cerrados', 'entornos', etc, y sólo trabajamos con los intervalos abiertos.

Nos preguntamos en esta entrada si los intervalos abiertos sirven para 'definir' la topología a partir de los entornos. Me explico, consideramos para cada $x\in {\mathbb R}$ la familia $V_x=\{(a,b)\subset {\mathbb R}: a < x < b\}$, es decir, todos los intervalos abiertos que contienen a $x$ y nos preguntamos si todos los $V_x$ constituyen los sistemas de entornos de alguna topología (puede uno pensar que va a ser la topología usual). Tenemos, por tanto, que probar si satisfacen las propiedades correspondientes. Podemos ver, por ejemplo, que para cada $U\in V_x$, $x\in U$, o que si $U_1,U_2\in V_x$, entonces $U_1\cap U_2\in V_x$. Incluso la última propiedad también la satisface: si $U\in V_x$, tomamos $W=U$; entonces para cada $y\in W$, tomamos $W\in V_y$, puesto que es un intervalo abierto y contiene a $y$ y es evidente que $W\subset U$.

Sin embargo es la propiedad "si $U\in V_x$ y $W\supset U$, entonces $W\in V_x$" la que no se cumple, puesto todo conjunto que contiene a un intervalo abierto no tiene porqué ser un intervalo abierto. Podemos sacar dos conclusiones: (i) aunque los intervalos abiertos definen una base de entornos de la topología usual, no definen el sistema de entornos de alguna topología. Es cierto que una base de entornos no tiene porqué ser toda la colección de entornos, pero podría serlo para otra topología, y (ii) la propiedad  "si $U\in V_x$ y $W\supset U$, entonces $W\in V_x$", que parece tonta, o trivial, no lo es, como se puede comprobar al ver la demostración del resultado de que cierta colección de subconjuntos definen los entornos de cierta topología, donde se usa varias veces.

martes, 3 de noviembre de 2015

Sumando abiertos en la topología de Sorgenfrey


Siguiendo con la entrada anterior ¿qué sucede si cambiamos por otra topología en ${\mathbb R}$? Vamos a considerar la topología de Sorgenfrey. Con el mismo razonamiento, tenemos de nuevo $$A+B=\cup_{a\in A}h_a(B),$$
donde $h_a(x)=x+a$. El problema radica ahora en saber si $h_a$ es un homeomorfismo (que sí lo era en la topología usual). Pero en este caso, sí lo es.La biyectividad es clara; lleva bases de abiertos en bases de abiertos, pues $h_a([c,d))=[a+c,d+e)$; y lo mismo sucede con la imagen inversa, pues $h_{a}^{-1}([c,d))=[c-a,d-a)$. En verdad, en la demostración de que $A+B$ es abierto, sólo se usa que $h_a$ es abierta, no que sea un homeomorfismo.

Veamos ahora  si el contraejemplo de los cerrados también vale. Los conjuntos $F_1$ y $F_2$ son también cerrados. Por último,   $F_1+F_2$ contiene a la sucesión  $\{1/n\}$, cuyo límite es $0$, y $0\not\in F_1+F_2$ ¿hemos acabado?.