Vuelvo a la aplicación $f(x,y)=x+y$, vista como $$f:({\mathbb R}\times{\mathbb R},\tau_S\times\tau_S)\rightarrow ({\mathbb R},\tau_S).$$Ahora hemos puesto en el dominio la topología producto de la de Sorgenfrey por ella misma, y en el codominio, $\tau_S$. De nuevo, y ésta es una de las claves para realizar este ejercicio, es que podemos hallar la imagen inversa de intervalos: $$f^{-1}([m,n))=\{(x,y):m \leq x+y < n\}$$ que es la 'banda inclinada' entre las rectas $y=-x+m$ e $y=-x+n$, conteniendo a la recta $y=-x+m$, pero no a la recta $y=-x+n$. Volviendo a recordar: si probamos que la imagen inversa de de estos elementos son abiertos, es suficiente para demostrar la continuidad de la aplicación.
Hay que probar que esta banda es un conjunto abierto en $\tau_S\times\tau_S$ (¡no hay que probar que pertenece a la base $\tau_S\times\tau_S$!). Esta base está formada por rectángulos de la forma $[a,b)\times[a',b')$. Entonces es fácil darse cuenta que dado un punto $(x,y)\in f^{-1}([m,n))$, entre él y la banda se puede encontrar un rectángulo de la forma $[a,b)\times[a',b')$. Esto con un dibujo es fácil. Para los puntos entre la dos rectas, sin contener a éstas, aparte de un pequeño dibujito, también de puede hacer del siguiente modo: la banda sin las rectas es un conjunto abierto en la topología usual (ejercicio); la topología usual de ${\mathbb R}^2$ es la topología producto $\tau_u\times\tau_u$; la topología $\tau_u$ de ${\mathbb R}$ es menos fina que $\tau_S$, es decir, $\tau_u\subset\tau_S$; por tanto $\tau_u\times\tau_u\subset\tau_S\times\tau_S$, que era lo que se quería probar.
Quedaría probar que los puntos de la banda $y=-x+m$ son interiores a la banda en la topología $\tau_S\times\tau_S$. De nuevo, repito, un dibujo lo prueba fácilmente. Que uno quiere encontrar con 'fórmulas' dicho abierto, basta tomar un rectángulo cuyo vértice de la izquierda abajo sea el punto $(x,y)$: podría valer $$(x,y)\in [x,x+\frac{n-m}{2})\times [y,y+\frac{n-m}{2})\subset f^{-1}([m,n)).$$
Hay que probar que esta banda es un conjunto abierto en $\tau_S\times\tau_S$ (¡no hay que probar que pertenece a la base $\tau_S\times\tau_S$!). Esta base está formada por rectángulos de la forma $[a,b)\times[a',b')$. Entonces es fácil darse cuenta que dado un punto $(x,y)\in f^{-1}([m,n))$, entre él y la banda se puede encontrar un rectángulo de la forma $[a,b)\times[a',b')$. Esto con un dibujo es fácil. Para los puntos entre la dos rectas, sin contener a éstas, aparte de un pequeño dibujito, también de puede hacer del siguiente modo: la banda sin las rectas es un conjunto abierto en la topología usual (ejercicio); la topología usual de ${\mathbb R}^2$ es la topología producto $\tau_u\times\tau_u$; la topología $\tau_u$ de ${\mathbb R}$ es menos fina que $\tau_S$, es decir, $\tau_u\subset\tau_S$; por tanto $\tau_u\times\tau_u\subset\tau_S\times\tau_S$, que era lo que se quería probar.
Quedaría probar que los puntos de la banda $y=-x+m$ son interiores a la banda en la topología $\tau_S\times\tau_S$. De nuevo, repito, un dibujo lo prueba fácilmente. Que uno quiere encontrar con 'fórmulas' dicho abierto, basta tomar un rectángulo cuyo vértice de la izquierda abajo sea el punto $(x,y)$: podría valer $$(x,y)\in [x,x+\frac{n-m}{2})\times [y,y+\frac{n-m}{2})\subset f^{-1}([m,n)).$$
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