Continuidad en la topología de Sorgenfrey

Aplicamos el resultado de la entrada anterior a un ejemplo que he mostrado muchas veces. En la topología de Sorgenfrey $\tau_S$, estudiamos la continuidad de la aplicación $f:({\mathbb R},\tau_S)\rightarrow ({\mathbb R},\tau_S)$ dada por $f(x)=x^2$.

Cuando hacemos $f^{-1}([a,b))$ para $a>0$, tenemos $$f^{-1}([a,b))=(-\sqrt{b},-\sqrt{a}]\cup [\sqrt{a},\sqrt{b}).$$
Este conjunto no es abierto, pues su interior es $(-\sqrt{b},-\sqrt{a})\cup [\sqrt{a},\sqrt{b})$. Por tanto, la aplicación no es continua en $x=-\sqrt{a}$. Ya que esto es válido para todos los intervalos de la forma $[a,b)$, con $a>0$, lo que hemos probado es que $f$ no es continua, al menos, en $(-\infty,0)$.

Efectivamente, vamos a verlo con más detalle para un punto concreto, por ejemplo, $x=-2$, y siguiendo la demostración (por contradicción) que se hizo en la entrada anterior. Sabemos que $f(-2)=4$ y tomamos como abierto de $4$ el conjunto $[4,5)$. Sabiendo que una base de entornos de $x$ es $\beta_x=\{[x,x+r): r > 0\}$, si $f$ es continua en $x=-2$, existirá $r > 0$ tal que $f([-2,2+r))\subset [4,5)$. Además podemos cambiar dicho $r$ por otro positivo con $r < 1$. Sin embargo $f([-2,-2+r))=(\sqrt{-2+r},4]$, que no está incluido en $[4,5)$.