Al estudiar la continuidad de aplicaciones relacionándolo con la topología cociente, el resultado que se tiene se refiere a aplicaciones que tienen como dominio un espacio cociente: basta con componer con la proyección para ver si es continua. Entonces el problema se transforma en uno sobre continuidad entre espacios 'no cocientes'. ¿Qué pasa si en el codominio tenemos una topología cociente?
Un ejemplo de la situación es la siguiente. En ${\mathbb R}$ con la topología usual $\tau$ consideramos la relación de equivalencia $\sim$ que identifica todos los puntos del intervalo $A=[3,5]$, es decir, $$[x]=\left\{\begin{array}{ll}\{x\} & \mbox{si $x\not\in A$} \\ A & \mbox{si $x\in A$}\end{array}\right.$$ Definimos $$f: {\mathbb R}\rightarrow \frac{{\mathbb R}}{\sim}, \ \ f(x)=[x^2].$$ Para estudiar la continuidad, veamos cuál es la imagen inversa de abiertos. Sea $G\in\tau/\sim$. Entonces $$f^{-1}(G)=\{x\in{\mathbb R}: [x^2]\in G\}.$$
Pero ¿cómo son los abiertos en $\tau/\sim$? El abierto $G$ es la imagen mediante la proyección $p:{\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}/\sim$ de un abierto $O\in\tau$ que es saturado, es decir, $O=p(G)$. Un abierto de este tipo satisface que si $x\in{\mathbb R}$ tiene la propiedad de que $x\sim y$, donde $y\in O$, entonces $x\in O$. Por tanto, si el abierto $O\in\tau$ no interseca a $A$, entonces es saturado; es caso contrario, $O$ contiene a $A$. Así el abierto $(0,2)$ es saturado, pero no el intervalo $(1,4)$.
Volvamos al ejercicio. Se tiene $$f^{-1}(G)=f^{-1}(p(O))=\{x\in{\mathbb R}: [x^2]\in p(O)\}=
\{x: \exists z\in O, x^2\sim z^2\}.$$ Tomamos el abierto $G=p(O)$, donde $O=(1,2)$: como $O\cap A=\emptyset$, entonces $O$ es saturado, y $G\in\tau/\sim$. Al hacer los cuadrados, obtenemos el intervalo $(1,4)$, y el conjunto de números relacionados por $\sim$ es $(1,5]$. Entonces, se puede observar que $$f^{-1}(G)=[-\sqrt{5},-1)\cup (1,\sqrt{5}],$$que no es abierto, probando que $f$ no es continua.
Un ejemplo de la situación es la siguiente. En ${\mathbb R}$ con la topología usual $\tau$ consideramos la relación de equivalencia $\sim$ que identifica todos los puntos del intervalo $A=[3,5]$, es decir, $$[x]=\left\{\begin{array}{ll}\{x\} & \mbox{si $x\not\in A$} \\ A & \mbox{si $x\in A$}\end{array}\right.$$ Definimos $$f: {\mathbb R}\rightarrow \frac{{\mathbb R}}{\sim}, \ \ f(x)=[x^2].$$ Para estudiar la continuidad, veamos cuál es la imagen inversa de abiertos. Sea $G\in\tau/\sim$. Entonces $$f^{-1}(G)=\{x\in{\mathbb R}: [x^2]\in G\}.$$
Pero ¿cómo son los abiertos en $\tau/\sim$? El abierto $G$ es la imagen mediante la proyección $p:{\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}/\sim$ de un abierto $O\in\tau$ que es saturado, es decir, $O=p(G)$. Un abierto de este tipo satisface que si $x\in{\mathbb R}$ tiene la propiedad de que $x\sim y$, donde $y\in O$, entonces $x\in O$. Por tanto, si el abierto $O\in\tau$ no interseca a $A$, entonces es saturado; es caso contrario, $O$ contiene a $A$. Así el abierto $(0,2)$ es saturado, pero no el intervalo $(1,4)$.
Volvamos al ejercicio. Se tiene $$f^{-1}(G)=f^{-1}(p(O))=\{x\in{\mathbb R}: [x^2]\in p(O)\}=
\{x: \exists z\in O, x^2\sim z^2\}.$$ Tomamos el abierto $G=p(O)$, donde $O=(1,2)$: como $O\cap A=\emptyset$, entonces $O$ es saturado, y $G\in\tau/\sim$. Al hacer los cuadrados, obtenemos el intervalo $(1,4)$, y el conjunto de números relacionados por $\sim$ es $(1,5]$. Entonces, se puede observar que $$f^{-1}(G)=[-\sqrt{5},-1)\cup (1,\sqrt{5}],$$que no es abierto, probando que $f$ no es continua.
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