Continuidad de una función a trozos (II)

Seguimos con la entrada anterior, y cambiamos un poquito la aplicación. Ahora se define $f$ como
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1&x > 0\\ -1 &x \leq  0\end{array}\right.$$y tomamos de nuevo la topología de Sorgenfrey. Del mismo modo, tenemos ahora: $$f^{-1}([a,b))=\left\{\begin{array}{ll}\emptyset&\mbox{si $0,1\not\in [a,b)$}\\
(0,\infty)&\mbox{si $1\in[a,b)$ y $-1\not\in [a,b)$}\\
(-\infty,0]&\mbox{si $-1\in[a,b)$ y $1\not\in [a,b)$}\\
{\mathbb R}& \mbox{si $-1,1\in [a,b)$}
\end{array}\right.$$Como $(-\infty,0]$ no es un abierto (pensar porqué), la aplicación no es continua. La pregunta es ¿y en qué puntos no es continua? De nuevo, las mismas puntualizaciones hechas antes son válidas ahora. Para 'cazar' los puntos donde deja de ser continua, hay que tomar los puntos cuya imagen está en $(-\infty,0]$, es decir, en $x\leq 0$. O dicho de otro modo, $f$ es continua en todos los puntos del intervalo $(0,\infty)$ (razonar).

Ya que ahora estamos estudiando la continuidad punto a punto, tomamos la caracterización por bases de entornos, recordando que ahora $\beta_x=\{[x,b): b > x\}$.
Veamos que $f$ no es continua en $x=0$. Como $f(0)=-1$. Tomando $[-1,0)\in{\beta}_{f(0)}$, no existe $b > 0$ tal que $f([0,b))\subset [-1,0)$, pues $f([0,b))=\{-1,1\}$.
Veamos que $f$ es continua si $x\in (-\infty,0)$. Como $f(x)=-1$, sea $[-1,c)$ arbitrario. Tomando  $b=0$, entonces  $f([x,b))=\{-1\}\subset [-1,c)$, luego probado la continuidad en $x$.