Un ejemplo de espacio topológico

Empezamos el curso con un ejemplo un espacio topológico y que ha aparecido en el examen de septiembre. Consideramos el conjunto $X=[0,1]$ y la familia de abiertos es $\tau=\{(a,1]:a\geq 1/2\}\cup\{\emptyset,X\}$. La prueba de que $\tau$ es una topología es sencilla, pues la intersección de dos intervalos de la forma $[a,1]$ y $(b,1]$ es $(\max\{a,b\},1]$. Para la unión, consideramos $\{(a_i,1]:i\in I\}\subset\tau$. Entonces si $b=\inf\{a_i:i\in I\}$, se tiene $b\geq 1/2$ y
$$\cup_{i\in I} (a_i,1]=(b,1].$$
Probar esta igualdad que, aunque es fácil, hasta que uno no lo hace explícitamente, no se da cuenta de todos los detalles.

Por supuesto, la familia de cerrados es (¡comprobar!)
$${\cal F}=\{[0,a]:a\geq 1/2\}\cup\{\emptyset,X\}.$$

Dejo dos ejercicios:

1. Estudiar si $\tau'=\{(a,1]:a  > 1/2\}\cup\{\emptyset,X\}$ es una topología en $X$. 
2. Si  $0\leq c < 1$, estudiar si $\tau''=\{(a,1]:a\geq c\}\cup\{\emptyset,X\}$ es una topología en $X$.