Cosiendo una corona circular para conseguir un toro

Consideramos la corona circular de radios $1$ y $2$, es decir, $$C=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: 1\leq x^2+y^2\leq4\}.$$ Vamos a coser los bordes de la corona para obtener un toro. Cuando estamos diciendo 'cose' nos estamos refiriendo, evidentemente, a definir un espacio cociente. Para ello, definimos la relación de equivalencia que identifica los puntos del borde que se son proporcionales (con proporción positiva), es decir: $$(x,y)R(x',y')\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll} \mbox{son iguales ó}\\ (x',y')=\lambda (x,y), \lambda\in\{1/2,2\}\end{array}\right.$$ Vemos el toro como el producto topológico ${\mathbb S}^1\times{\mathbb S}^1$. Para hallar la identificación, lo que hacemos es llevar el segmento de recta que une $(x,y)$ ($\sqrt{x^2+y^2}=1$) con $2(x,y)$ a una circunferencia de radio $1$. Os dejo los detalles.

Otra manera es pasando por un cilindro, que es homeomorfpo a una corona ...