Numerosos ejemplos de homeomorfismos que hemos construido no son más que las restricciones de otros en espacios más grandes. Sin embargo, cuando hemos definido un homeomorfismo entre la corona circular $\{(x,y):\in{\mathbb R}^2: 1 < x^2+y^2 < 4\}$ y el cilindro ${\mathbb S}^1\times{\mathbb R}$, éste no ha sido la restricción de un homeomorfismo entre ${\mathbb R}^2$ y ${\mathbb R}^3$ ya que estos espacios no son homeomorfos.
Otros homeomorfismos que vemos con los ojos tampoco son restricciones. Así, establecimos un homeomorfismo entre la hoja de papel $X=\{(x,y,z):\in{\mathbb R}^3: z=y^2\}$ y el plano $Y={\mathbb R}^2$ que no era más que a cada punto $(x,y,z)\in X$ lo llevábamos en $(x,y)\in Y$, es decir, $X$ es el grafo de la función $f(x,y)=y^2$ definida en todo ${\mathbb R}^2$. Este homeomorfismo no es la restricción de uno de ${\mathbb R}^3$ a ${\mathbb R}^2$. Podemos verlo en el siguiente vídeo.
Otros homeomorfismos que vemos con los ojos tampoco son restricciones. Así, establecimos un homeomorfismo entre la hoja de papel $X=\{(x,y,z):\in{\mathbb R}^3: z=y^2\}$ y el plano $Y={\mathbb R}^2$ que no era más que a cada punto $(x,y,z)\in X$ lo llevábamos en $(x,y)\in Y$, es decir, $X$ es el grafo de la función $f(x,y)=y^2$ definida en todo ${\mathbb R}^2$. Este homeomorfismo no es la restricción de uno de ${\mathbb R}^3$ a ${\mathbb R}^2$. Podemos verlo en el siguiente vídeo.
Ya indicamos en clases que este homeomorfismo tampoco es el de coger la hoja de papel y 'abrirla', sino el de coger los puntos de la hoja, el conjunto $X$, y dejarlo caer en el plano $Y$, es decir, a cada punto $(x,y,z)$ lo llevamos en $(x,y)$. Esto lo vemos en el vídeo que adjuntamos.
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