miércoles, 30 de octubre de 2013

Distancia entre dos conjuntos


En un espacio métrico $(X,d)$, un punto $x\in X$ es adherente a un conjunto $A\subset X$ si su distancia a $A$ es $0$.
Si ahora tomamos dos conjuntos $A,B\subset X$, se define la distancia entre ellos como
$$d(A,B)=\inf\{d(a,b): a\in A, b\in B\}.$$Consideramos $X$ el plano euclídeo. Entonces existen conjuntos que están a distancia $0$, pero no hay puntos de uno de ellos que esté a distancia $0$ del otro conjunto. O dicho de otra manera, no existen puntos de uno que sean adherentes al otro, es decir,
$$\overline{A}\cap B=A\cap \overline{B}=\emptyset.$$Así, basta tomar $A={\mathbb R}\times\{0\}$ el eje de abcisas y $B=\{(x,1/x):x>0\}$. Como  $$d((n,0),(n,\frac{1}{n}))=\frac{1}{n}\rightarrow 0,$$entonces $d(A,B)=0$. Sin embargo, ningún punto de $A$ es adherente a $B$ y al revés. En el primer caso, es claro que $d((x,0),B)>0$: la distancia es justamente la distancia de $(x,0)$ al punto que se obtiene al intersecar la perpendicular desde $(x,0)$ al conjunto $B$ (y no es el punto $(x,1/x)$).
 De hecho, $A$ y $B$ son conjuntos cerrados, luego $\overline{A}\cap B=A\cap B=\emptyset$.

lunes, 28 de octubre de 2013

Interior usando bases de abiertos


Sabemos que el interior de un conjunto es el mayor conjunto abierto contenido en él. Si la topología viene dada por una base de abiertos, no podemos decir que el interior el mayor elemento de la base contenido en el conjunto. Así, por ejemplo, consideramos ${\mathbb R}$ con su topología usual y $A=(0,1)\cup(2,3)$. Este conjunto es abierto y por tanto su interior coincide con $A$. Si tomamos como base de la topología usual la base usual, es decir, la formada por los intervalos abiertos
$$\beta=\{(a,b): a < b, a,b\in{\mathbb R}\}$$ tenemos que no hay un mayor elemento de $\beta$ incluido en $A$, sino que hay uno mayor contenido en $(0,1)$ (que es $(0,1)$) y uno mayor incluido en $(1,2)$, que es $(1,2)$. En este ejemplo hay elementos de $\beta$ incluidos en $A$, pero uno hay uno mayor.

Otro ejemplo es, en el mismo espacio topológico, el conjunto $B=(0,\infty)$. Este conjunto es abierto, luego coincide con su interior. Está claro que para todo $0 \leq a < b$, $(a,b)\subset B$, pero no hay uno que sea mayor, ya que $b$ puede ser arbitrariamente grande.

También sabemos que el interior de $A$ es la unión de todos los abiertos incluidos en $A$. Por tanto, es fácil deducir que también es la unión de todos los elementos de $\beta$ incluidos en $A$. Con esta caracterización, y para el conjunto $B$ anterior,
$$int(B)=\cup\{(a,b): 0 \leq a < b, a,b\in {\mathbb R}\}=(0,\infty).$$

domingo, 27 de octubre de 2013

Interior de un conjunto por sucesiones


Se puede usar la caracterización por sucesiones de punto interior para estudiar si ciertos subconjuntos de ${\mathbb R}^n$ son abiertos. Tomemos el conjunto $A=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y > 0\}.$ Veamos que es abierto probando que todo punto suyo es interior, y usamos sucesiones.

Sea $(x,y)\in A$ y sea $\{(x_n,y_n)\}\rightarrow (x,y)$. Veamos que a partir de un cierto lugar, la sucesión se encuentra contenida en $A$. Por la convergencia se tiene $\{y_n\}\rightarrow y$. Como $y>0$, a partir de un cierto lugar, $y_n$ es positivo. Esto es consecuencia de la convergencia, ya que tomando $\epsilon=y>0$, existe $n_0\in{\mathbb N}$ tal que $n\geq n_0$ implica $|y_n-y|<\epsilon$. En particular,
$$-y_n+y<\epsilon=y\Rightarrow y_n>0.$$ Por tanto, $(x_n,y_n)\in A$ para $n\geq n_0$.

sábado, 26 de octubre de 2013

Adherencia por sucesiones

Continuamos con la entrada anterior, usando la caracterización por sucesiones de la adherencia en un espacio métrico. Veamos cuál es la diferencia del cálculo de la adherencia cuando el conjunto no es cerrado.
Consideramos en el plano euclídeo ${\mathbb R}^2$ el conjunto $A=(0,1)\times\{0\}$. Sea $(x,y)\in\overline{A}$. Entonces existe una sucesión $\{(x_n,y_n)\}\subset A\rightarrow (x,y)$. En particular,
$$0 < x_n < 1,\ \ y_n=0.$$Por tanto, como $\{y_n\}\rightarrow y$, se concluye que $y=0$. Por otro lado, al tomar límites en la desigualdad $0 < x_n < 1$ y ya que $\{x_n\}\rightarrow x$, entonces $0\leq x\leq 1$. Por tanto hemos concluido que si $(x,y)$ es adherente a $A$, entonces $$(x,y)\in[0,1]\times\{0\}.$$ Es decir, hemos encontrado condiciones necesarias para que $(x,y)$ sea adherente. Ya que $A\subset\overline{A}$, sólo queda estudiar si $(0,0)$ y $(1,0)$ son adherentes o no a $A$.

En este ejemplo particular, la utilidad de la caracterización por sucesiones es que sólo tenemos que estudiar si dos puntos son o no son adherentes. Si hubiéramos empezado el estudio usando la definición de punto adherente tendríamos que haber estudiado si dado un punto $(x,y)$ (que no esté en $A$) es adherente, e ir analizando casi punto por punto si es o no adherente. En cambio, por sucesiones, el esfuerzo se reduce a estudiar si 2 puntos son adherentes.
Saber si son adherentes o no ambos puntos es un trabajo con un matiz diferente. Ahora tenemos que encontrar una sucesión en $A$ que converge a los puntos en cuestión. Aquí es fácil sin más que darse cuenta de$$\{(\frac{1}{n},0)\}\rightarrow (0,0),\ \ \{(1-\frac{1}{n},0)\}\rightarrow (1,0).$$
 

jueves, 24 de octubre de 2013

Conjuntos cerrados por sucesiones

Voy a resumir los ejercicios que se hicieron ayer donde se probaba que ciertos subconjuntos de un espacio euclídeo son cerrados. Consideramos   ${\mathbb R}^2$ con su topología usual y $f:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}$ una aplicación continua. Entonces los conjuntos $A=\{(x,y): y\leq f(x)\}$ y $B= \{(x,y): y= f(x)\}$ son cerrados. Lo probamos para el primero.

Veamos que todo punto adherente pertenece a $B$. Para ello sea $(x,y)\in\overline{B}$ y $\{(x_n,y_n)\}\subset B$ tal que $\{(x_n,y_n)\}\rightarrow (x,y)$. En particular, $$\{x_n\}\rightarrow x, \{y_n\}\rightarrow y.$$
Como $(x_n,y_n)\in B$, $y_n=f(x_n)$.  Al tomar límites y usando la continuidad de $f$, tenemos
$$y=f(x).$$
Esto prueba que $(x,y)\in B$. Por tanto $\overline{B}\subset B$ y $B$ es cerrado.

El ejemplo que se hizo en clase fue tomar $f(x)=x^2$.

Para el caso de la circunferencia $A=\{(x,y): x^2+y^2=1\}$, y siguiendo el mismo razonamiento, tenemos
$$x_n^2+y_n^2=1.$$
Al tomar límites, $x^2+y^2=1$, es decir, $(x,y)\in A$, y así $A$ es cerrado.
 

miércoles, 23 de octubre de 2013

Interior en topologías en comparables

Consideramos un conjunto $X$ con dos topologías $\tau_1$ y $\tau_2$ tales que $\tau_1\subset\tau_2$. Si $A\subset X$, ¿Hay alguna relación entre el interior de $A$ en $(X,\tau_1)$ y el interior de $A$ en $(X,\tau_2)$? Denotamos a ambos interiores por $int_i(A)$, con $i=1,2$.

Ya que todo entorno de un punto en $(X,\tau_1)$ también lo es en $(X,\tau_2)$, entonces $int_1(A)\subset int_2(A)$.

Como consecuencia de esta inclusión, tenemos que $ext_1(A)\subset ext_2(A)$, contrariamente a lo que uno podría pensar ya que el exterior de un conjunto es el interior del complementario. Un ejemplo de que la inclusión es estricta es el siguiente: tomamos $X={\mathbb R}$, $\tau_1$ la topología usual y $\tau_2$ la de Sorgenfrey. Sea $A=[0,1]$. Entonces $$ext_1(A)={\mathbb R}-[0,1]$$ $$ext_2(A)={\mathbb R}-(0,1].$$

martes, 22 de octubre de 2013

Sucesiones convergentes en topologías comparables

Ya hemos propuesto varias veces la cuestión sobre la relación entre los conceptos topológicos para dos topologías en la que una es más fina que la otra. Concretamente, sea $X$ un conjunto con dos topología $\tau$ y $\tau'$ tal que $\tau\subset \tau'$, es decir, $\tau'$ es  más fina que $\tau$. ¿Hay alguna relación entre las sucesiones convergentes de $(X,\tau)$ y las de $(X,\tau')$? Por ejemplo, si $\{x_n\}\rightarrow x$ en $(X,\tau)$, ¿lo mismo ocurre en $(X,\tau')$? ¿y al revés?

En este sentido, el resultado que se tiene es el siguiente: si $\tau\subset\tau'$, toda sucesión convergente en $(X,\tau')$ es convergente en $(X,\tau)$.

La prueba es fácil y es dejarse llevar. Supongamos que $\{x_n\}\rightarrow x$ en $(X,\tau')$. Veamos que $\{x_n\}\rightarrow x$ en $(X,\tau)$. Para ello sea $U$ un entorno de $x$ en $(X,\tau)$. Como ${\cal U}_x\subset {\cal U}_x^{'}$, entonces $U$ es un entorno de $x$ en la topología $\tau'$. Por la convergencia, existe $n_0\in {\mathbb N}$ tal que si $n\geq n_0$, $x_n\in U$, como se quería probar.

En la entrada anterior había una situación donde aplicar este resultado. Así, se tenía que $d'\leq d$ y por tanto, $\tau'\subset\tau$. Entonces toda sucesión convergente en $(X,d)$ también lo es en $(X,d')$. Obsérvese que en el ejemplo de las sucesiones $\{f_n\}$ se tenía justamente lo contrario, es decir, $\{f_n\}\rightarrow 0$ en $(X,d')$, pero no convergían en $(X,d)$, lo cual probaba que las distancias no eran equivalentes.

lunes, 21 de octubre de 2013

Distancias no equivalentes

En el espacio $X$ de las funciones continuas de $[0,1]$ consideramos las dos distancias que hemos definido en clase:$$d(f,g)=\int_{0}^{1}|f(x)-g(x)|dx$$ $$d'(d,g)=\max\{|f(x)-g(x)|: 0\leq x\leq 1\}.$$
Estas dos distancias no son equivalentes. Concretamente, usando la entrada anterior, y ya que $d'\leq d$, se tiene $\tau'\subset\tau$.

Sin embargo, $\tau\not\subset\tau'$. Para ello, vamos a mostrar una sucesión $\{f_n\}\rightarrow g$ en $\tau'$, pero no es convergente en $\tau$. Definimos
$$f_n(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0 &  \mbox{si $0\leq x\leq 1-\frac{1}{n}$}\\
n(x-1)+1 & \mbox{si $1-\frac{1}{n}\leq x\leq 1$}.
\end{array}
\right.$$
Entonces
$$d(f_n,g)=\int_{0}^1f_n(x)\ dx=\frac{1}{2n}\rightarrow 0,$$
pero
$$d'(f_n,g)=\max\{f_n(x):0\leq x\leq 1\}=1$$
que no converge a $0$, luego $\{f_n\}$ no converge a $g=0$ para la distancia $d'$.
Un dibujo de las funciones $f_n$ es el siguiente:




Observemos que las funciones $f_n$ no convergen puntualmente a la función $g=0$, aunque la propiedad sólo falla en $x=1$.

domingo, 20 de octubre de 2013

Distancias equivalentes

Para demostrar que dos distancias son equivalentes, se utiliza habitualmente la siguiente condición suficiente: 

Si $X$ es un conjunto y $d$, $d'$ son dos distancias tales que existen $K,M>0$ con $d\leq K d'$ y $d'\leq M d$, entonces $d$ y $d'$ son equivalentes.

Concretamente, si $d\leq K d'$, entonces las topología $\tau$ que genera $d$ está incluida en la topología $\tau'$ que determina $d'$.

Esta condición no es necesaria y para mostrar un ejemplo, tomamos las dos distancias de la entrada anterior. Ya se sabe que son equivalentes. Además, ya que $d'\leq d$, entonces tenemos una desigualdad del tipo anterior tomando $M=1$.

Sin embargo, no existe $K>0$ tal que $d\leq K d'$. Si fuera así, y ya que $d'$ está acotada por $1$, se tendría que $d$ también está acotada, lo cual no es cierto en general: por ejemplo tomando $X={\mathbb R}$ y $d$ la distancia usual.

jueves, 17 de octubre de 2013

Las bolas son a veces 'raras'


Ya hemos comentando muchas veces que las bolas en un espacio métrico no son redondas, como habitualmente hacemos cuando consideramos un espacio euclídeo con la distancia usual. Ni incluso en subconjuntos de ${\mathbb R}^n$ las bolas son redondas.

El siguiente ejemplo es otro más y también algo curioso. Para particularizar, tomamos $X={\mathbb R}^2$ (aunque se puede tomar cualquier conjunto) y $d$ la distancia usual. Se define otra distancia $d'$ del siguiente modo:
$$d'(x,y)=min\{d(x,y),1\}.$$Tomamos un radio $r$ tal que $r > 1$. Como $d'(x,y) \leq  1$,  entonces $y\in B'_r(x)$. Esto prueba que $B'_r(x)={\mathbb R}^2$. Cuando $r\leq 1$, si $d'(x,y) < r$, entonces $d'(x,y)=d(x,y)$. Por tanto, $B'_r(x)=B_r(x)$.

Como conclusión, en $({\mathbb R}^2,d')$ tenemos:
$$B'_r(x)=\left\{\begin{array}{ll} {\mathbb R}^2 & r > 1\\ B_r(x) & r \leq 1\end{array}\right.$$

miércoles, 16 de octubre de 2013

Calculando el interior de un conjunto en diferentes espacios topológicos

Consideramos el conjunto $X=[0,3)\cup\{5\}$ con su topología usual como espacio métrico con la distancia euclídea. Tomamos el conjunto $A=\{5\}$ y su interior en $X$ es $A$. Esto contrasta con que el interior de $A$ en ${\mathbb R}$ es $\emptyset$. Aquí estamos suponiendo que ${\mathbb R}$ tiene su topología euclídea (con la misma distancia euclídea). Esto no es más que una muestra de que el interior de un conjunto (y lo mismo con el exterior, frontera o adherencia) depende del espacio topológico donde esté. Por ello, las palabras correctas son el interior de $A$ en el espacio topológico $(X,\tau)$. Del mismo modo, la adherencia de $(2,3)$ en $X$ es $[2,3)$ mientras que la adherencia en ${\mathbb R}$ es $[2,3]$.

Si tomamos ahora $A=(1,2)$ no es difícil probar que el interior de $A$ en $X$ es $(1,2)$, que coincide con el interior de $A$ en ${\mathbb R}$. Para este mismo conjunto, la adherencia es $[1,2]$, tanto en $A$ como en ${\mathbb R}$. Por tanto, la frontera de $A$, tanto en $X$ como en ${\mathbb R}$ coincide.

El exterior de $A$ en $X$ como en ${\mathbb R}$ ¡no pueden coincidir!, porque el exterior es el interior del complementario y $X-A$ no es ${\mathbb R}-A$.

Os animo a encontrar más subconjuntos de $X$ cuyo interior, adherencia (y por tanto, frontera) coincidan tanto en $X$ como en ${\mathbb R}$.

lunes, 14 de octubre de 2013

Un conjunto que coincide con su frontera (II)

En la topología usual hay conjuntos que coinciden con su frontera. Así, en ${\mathbb R}$, si $A=\{1\}$, entonces $Fr(A)=A$ ya que $A$ es cerrado y su interior es vacío. Del mismo modo, el conjunto de los número enteros ${\mathbb Z}$ también coincide con su frontera.

A raíz de estos ejemplos, y el que aparece en la entrada anterior, ¿es posible dar una caracterización de aquellos conjuntos que coinciden con su frontera?

domingo, 13 de octubre de 2013

Un conjunto que coincide con su frontera


Cuando el espacio topológico que estamos trabajando no es el espacio euclídeo, es a veces difícil imaginarse cómo es el interior de un conjunto, y lo mismo con su exterior y su frontera.

En esta entrada os animo a que busquéis espacios topológicos y subconjuntos suyos cuya frontera coincida exactamente con el conjunto. Un primer ejemplo es el siguiente.

Consideramos en ${\mathbb R}$ la topología a derechas y tomamos $A=(-infty,0]$. Eñ interior de este  conjunto es el conjunto vacío y como es un conjunto cerrado, $\overline{A}=A$. Por tanto,
$$Fr(A)=\overline{A}\setminus int(A)=A.$$

martes, 8 de octubre de 2013

Topología sin símbolos


Me he animado a escribir en unos 'apuntes', todas las definiciones y resultados de la asignatura sin utilizar símbolos. 

Para ello he tomado como punto de partida el resumen del temario que hay en el enlace

http://www.ugr.es/~rcamino/docencia/topologia11-12/topo-resumen.pdf

y  me he puesto a eliminar todo rastro de símbolos!!! El resultado provisional lo podéis descargar de este enlace.

Espero que os guste y os divirtáis.

lunes, 7 de octubre de 2013

Dando la vuelta a base de entornos


Hoy hemos dado las condiciones para que una familia de subconjuntos $\beta_x$ asociada a cada punto $x\in X$ de un conjunto (donde no hay definida previamente una topología) sea base de entornos de una topología definida en $X$:

  1. $x\in V$, $\forall V\in\beta_x$.
  2. Si $V_1, V_2\in\beta_x$, entonces existe $V_3\in\beta_x$ tal que $V_3\subset V_1\cap V_2$.
  3. Si $V\in\beta_x$, entonces existe $V_0\in\beta_x$ tal que para todo $y\in V_0$, existe $V_y\in\beta_y$ tal que $V_y\subset V$.
Podemos ahora plantear una serie de ejercicios que consiste en darle la vuelta a resultados que ya tenemos en algunos espacios topológicos. Para mostrar un ejemplo, consideramos el siguiente. Sea $X$ un conjunto y $p\in X$ un punto que se fija. Sabemos que en $X$ existe la topología del punto incluido para $p$, pero ahora nos olvidamos de dicha topología, como si no supiéramos nada de ella.

Definimos para cada $x\in X$, $V_x=\{x,p\}$ y sea $\beta_x=\{V_x\}$. El primer ejercicio es probar que $\beta_x$ es base de entornos para una topología en $X$: hay que probar que se verifican las tres propiedades anteriores.

Llamamos $\tau$ a la topología que genera $\beta_x$. Recordemos que si tenemos la base de entornos, tenemos los entornos de $x$, sin más que coger todos los conjuntos que contengan a todos los conjuntos de $\beta_x$. En nuestro caso,
$${\cal U}_x=\{U\subset X: \{x,p\}\subset U\}.$$Los conjuntos abiertos son los conjuntos que son entornos de todos sus puntos.

Otra forma es sabiendo que los abiertos son los conjuntos que son entornos de todos sus puntos, y que si $\beta_x$ es base de entornos, entonces $O\in\tau$ si y sólamente si para todo $x\in X$, $V_x\subset O$.

Después de estos recordatorios, el ejercicio que queda es probar que
$$O\subset X\mbox{ es abierto si y sólamente si } p\in O.$$ Y con esto recuperaríamos la topología de punto incluido definida ya hace un par de semanas.

Y lo mismo que se ha hecho con la topología del punto incluido, podemos hacer con todas las topologías que ya conocemos una base de entornos, por ejemplo, la recta euclídea. Así que consideramos la recta real ${\mathbb R}$ y nos olvidamos de cómo era la topología usual de ${\mathbb R}$. Para cada $x\in{\mathbb R}$ definimos
$$\beta_x=\{(x-r,x+r): r>0\},$$
y probamos que $\beta_x$ es base de entornos de una topología $\tau$ definida en ${\mathbb R}$. El ejercicio consistiría pues en probar que $$\beta=\{(a,b): a < b, a,b\in{\mathbb R}\}$$
es base de abiertos de la topología $\tau$.

domingo, 6 de octubre de 2013

Topología a derechas

Consideramos ${\mathbb R}$ con la topología a derechas. Sabemos que una base de entornos de $x\in {\mathbb R}$ es $\beta_x=\{V_x:=[x,\infty)\}$. Las propiedades que tiene esta topología son las siguientes:
  1. La base de entornos sólo tiene un elemento. 
  2. Si $y\in V_x$, entonces $V_y\subset V_x$. 
Me pregunto si esta topología es la única en ${\mathbb R}$ que satisface ambas propiedades. 
 
Concretamente, supongamos que $\tau$ es otra topología, $\beta_x'=\{U_x\}$ base de entornos de $x$ en $(X,\tau)$ con las dos propiedades anteriores. Definimos en ${\mathbb R}$ una relación binaria $\leq$ del siguiente modo: $$x\leq y \mbox{ si } U_y\subset U_x.$$ Creo que esta relación es de orden. Quedaría por probar que $\leq$ es justamente la relación de orden usual de ${\mathbb R}$.

viernes, 4 de octubre de 2013

Base de entornos cerrados

Habitualmente la base de entornos que aparecen en los ejemplos está formada por entornos que son conjuntos abiertos. Sin embargo, no tiene porqué ser así. En clase apareció la siguiente base de entornos en la topología usual de ${\mathbb R}^2$: $$\beta_{(x,y)}=\{[x-\epsilon,x+\epsilon]\times [y-\epsilon,y+\epsilon]: \epsilon>0\}.$$ Incluso uno puede considerar entornos que no son abiertos ni cerrardos: $$\beta_{(x,y)}=\{(x-\epsilon,x+\epsilon]\times (y-\epsilon,y+\epsilon]: \epsilon>0\}.$$ En la topología usual, para base de entornos, no tiene porqué usarse 'intervalos'. Os dejo como ejercicio probar que la siguiente familia de conjuntos es una base de entornos de $x$ en la topología usual de ${\mathbb R}$: $$\beta_x=\{(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n})\cup\{x+\frac{1}{n-1}\}: n\in{\mathbb N}\}.$$

jueves, 3 de octubre de 2013

Quitando, quitando ??

¿Podemos hacer algo parecido a la entrada anterior, pero con la topología de Sorgenfrey $\tau_S$?

Sea la base usual de $\tau_S$ dada por $\beta_u=\{[a,b): a < b, a,b\in{\mathbb R}\}$. Una base más pequeña es tomar $\beta_u$ y quitarle un intervalo, por ejemplo, el intervalo $[0,1)$. Otra más pequeña es quitarles los intervalos de la forma $[n,n+1)$, con $n\in {\mathbb N}$.

La pregunta que planteo ahora es si las siguientes familias de subconjuntos son bases de $\tau_S$, considerando todas las posibilidades de los extremos del intervalo siendo o no racionales:
$$\{[a,b): a < b, a,b\in {\mathbb R}-{\mathbb Q}\}$$ $$\{[a,b): a < b, a,b\in{\mathbb Q}\}$$ $$\{[a,b): a < b, a\in {\mathbb R}-{\mathbb Q}, b\in {\mathbb Q} \}$$ $$\{[a,b): a < b,  a\in {\mathbb Q}, b\in {\mathbb R}-{\mathbb Q} \}.$$

miércoles, 2 de octubre de 2013

Quitando y quitando


Sabemos que si $\beta$ es una base y $O\in\tau$, entonces $\beta\cup\{O\}$ es una base del espacio, es decir, si a una base vamos añadiendo abiertos, sigue siendo base. ¿Y al revés?

En la recta euclídea consideramos la base usual $\beta_u=\{(a,b): a < b, a,b\in{\mathbb R}\}$. Una base más pequeña es tomar $\beta_u$ y le quitamos el intervalo $(0,1)$. Otra más pequeña es $\beta_u$ y le quitamos los intervalos $(0,1)$ y $(2,3)$. Más pequeña aún. A $\beta_u$ le quitamos los intervalos de la forma $(n,n+1)$, con $n\in {\mathbb N}$.

Más todavía, a $\beta_u$ le quitamos todos los intervalos con extremos racionales, es decir,
$$\{(a,b): a < b, a,b\in {\mathbb R}-{\mathbb Q}\}$$ es base de la topología usual.

Del mismo modo, $$\{(a,b): a < b, a,b\in{\mathbb Q}\}$$ también es base.

¡Más todavía!, $$\{(a,b): a < b, a\in {\mathbb R}-{\mathbb Q}, b\in {\mathbb Q} \}$$ y
$$\{(a,b): a < b,  a\in {\mathbb Q}, b\in {\mathbb R}-{\mathbb Q} \}$$ son bases de la topología usual.