La adherencia de un compacto no es compacto
En el examen de febrero apareció un ejemplo de un subconjunto compacto cuya adherencia no lo es. Para ello tomamos el espacio topológico $(X,\tau)$, donde $X=[0,2]$ y $\tau=\{O\subset X: (0,1)\subset O\}\cup\{\emptyset\}$. Esta topología la hemos llamado la del 'conjunto incluido', ya que todos los abiertos contienen al subconjunto $A=(0,1)$.
El conjunto $A$ es compacto, ya que dado un recubrimiento por abiertos de $A$, cualquier abierto de dicho recubrimiento ya recubre $A$ por la propia definición de $\tau$.
La adherencia de $A$ es $X$: $\overline{A}=[0,2]$. Una base de entornos de cada punto $x\in X$ es $\beta_x=\{U_x:=\{x\}\cup A\}$. Por tanto, $U_x\cap A\not=\emptyset$.
Sin embargo, $\overline{A}=[0,2]$ no es compacto. Un recubrimiento de $[0,2]$ es $\{U_x:x\in [0,2]\}$, y si hubiera un recubrimiento finito, a saber, $[0,2]=U_{x_1}\cup\ldots\cup U_{x_n}$, entonces $[0,2]=A\cup\{x_1,\ldots,x_n\}$, lo cual es falso.
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