Ya sabemos que en el estudio de la convergencia de sucesiones, si el espacio topológico no es métrico, pueden suceder cosas raras. Recuerdo que aquí vimos que en la topología a derechas, la sucesión $\{n\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge a $x=0$!
Otro ejemplo es la topología del punto incluido. Aunque lo que viene a continuación se puede hacer en un conjunto arbitrario, vamos a concreta en considerar $X=\mathbb{R}$ con la topología del punto incluido para $p=1$. Sabemos que la sucesión constante $\{1\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge a $x=1$, pero también converge a ¡cualquier número real!
Efectivamente, dado $y\in\mathbb{R}$, una base de entornos es $\beta_y=\{V:=\{y,1\}\}$. Por tanto, toda! la sucesión se encuentra contenida en $V$. En particular, la topología del punto incluido no es metrizable (en un espacio métrico, las sucesiones convergentes sólo tienen un límite).
Otro ejemplo de sucesión convergente es la sucesión oscilante: $1,-1,1,-1,1,\ldots$. Esta sucesión NO converge a $x=1$, pero SÍ a $x=-1$.
Otro ejemplo es la topología del punto incluido. Aunque lo que viene a continuación se puede hacer en un conjunto arbitrario, vamos a concreta en considerar $X=\mathbb{R}$ con la topología del punto incluido para $p=1$. Sabemos que la sucesión constante $\{1\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge a $x=1$, pero también converge a ¡cualquier número real!
Efectivamente, dado $y\in\mathbb{R}$, una base de entornos es $\beta_y=\{V:=\{y,1\}\}$. Por tanto, toda! la sucesión se encuentra contenida en $V$. En particular, la topología del punto incluido no es metrizable (en un espacio métrico, las sucesiones convergentes sólo tienen un límite).
Otro ejemplo de sucesión convergente es la sucesión oscilante: $1,-1,1,-1,1,\ldots$. Esta sucesión NO converge a $x=1$, pero SÍ a $x=-1$.