Probar que no son homeomorfos

Ya hemos insistido que para probar que no dos espacios topológicos no son homeomorfos, hay que encontrar invariantes topológicos que satisfaga un espacio y no el otro. Pero uno podría pensar que otra forma sería probar directamente que no existen homeomorfismos entre un espacio y otro.

Me he planteado, en un caso sencillo, esta cuestión y no veo que sea fácil hacerlo sin echar de mano del concepto de invariante topológico. Por ejemplo, cojamos $X=[0,1)$ e $Y=(0,1)$. La idea es, por reducción al absurdo, suponer que existe un homeomorfismo $f:X\rightarrow Y$ y llegar a una contradicción. Sabemos que el invariante topológico que se usa aquí para probar que no son homeomorfos es la conexión, pero ¿se podría llegar a una contradicción trabajando directamente con $f$? Es claro a raíz del argumento con conexión, que uno tiene que focalizar el trabajo entre $x=0$ y su imagen mediante $f$.

Sea $x_0=f(0)$, el cual sabemos que satisface $01/2$ y $g(y_n)\rightarrow 0$. Si supiéramos que $g$ es creciente, entonces llegaríamos a una contradicción.

Y aquí me quedo...