Convergencia de sucesiones en la topología del punto incluido

Ya sabemos que en el estudio de la convergencia de sucesiones, si el espacio topológico no es métrico, pueden suceder cosas raras. Recuerdo que aquí vimos que en la topología a derechas, la sucesión $\{n\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge a $x=0$!

Otro ejemplo es la topología del punto incluido. Aunque lo que viene a continuación se puede hacer en un conjunto arbitrario, vamos a concreta en considerar $X=\mathbb{R}$ con la topología del punto incluido para $p=1$. Sabemos que la sucesión constante $\{1\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge a $x=1$, pero también converge a ¡cualquier número real!

Efectivamente, dado $y\in\mathbb{R}$, una base de entornos es $\beta_y=\{V:=\{y,1\}\}$. Por tanto, toda! la sucesión se encuentra contenida en $V$. En particular, la topología del punto incluido no es metrizable (en un espacio métrico, las sucesiones convergentes sólo tienen un límite).

Otro ejemplo de sucesión convergente es la sucesión oscilante: $1,-1,1,-1,1,\ldots$. Esta sucesión NO converge a $x=1$, pero SÍ a $x=-1$.