Usando racionales e irracionales

Consideramos $\mathbb{R}$ con la topología usual $\tau$, es decir, aquélla que tiene por base $\beta=\{(a,b); a < b, a,b\in\mathbb{R}\}$. Voy a probar que $\beta_1=\{(a,b); a < b, a,b\in\mathbb{Q}\}$ es base de $\tau$. Por un lado, es evidente que $\beta_1\subset\beta\subset\tau$. Por otro, dado $O\in\tau$ y $x\in O$, sean $a,b\in\mathbb{R}$ tales que $x\in (a,b)$. En particular, $a < x < b$. Por la propiedad de los números racionales, existen racionales $p,q$ tales que $a < p < x$ y $x < q < b$. En particular,
$$x\in (p,q)\subset (a,b)\subset O.$$ De la misma forma, y llamando  $\mathbb{I}$ el conjunto de los irracionales, se puede probar que  $\{(a,b); a < b, a,b\in\mathbb{I}\}$,  $\{(a,b); a < b, a\in\mathbb{Q},b\in\mathbb{I}\}$ y $\{(a,b); a < b, a\in\mathbb{I}, b\in\mathbb{Q}\}$ son también bases de $\tau$.

La cuestión que planteo es estudiar bases parecidas en las otras topologías que hemos introducido en $\mathbb{R}$. Por ejemplo, sea $\tau_S$ la topología de Sorgenfrey. ¿Es $\beta_1$ base de $\tau_S$?

De la misma forma, si $\tau_d$ es la topología a derechas, ¿es $\{[a,\infty);a\in\mathbb{Q}\}$ base de dicha topología?