Consideramos un espacio topológico $(X,\tau)$ y $B\subset A\subset X$. Es conocida la propiedad que relaciona la adherencia $\overline{B}$ de $B$ en $X$ con la adherencia $\overline{B}^{A}$ de $B$ en $(A,\tau_{|A})$: $\overline{B}^A=\overline{B}\cap A$. En esta entrada nos preguntamos qué sucede con la 'correspondente' propiedad con el interior, es decir, si hay alguna relación entre $int(B)$ e $int(B)^A$.
Lo que se le ocurre a uno es que se tendría $int(B)^A=int(B)\cap A$. Veamos un ejemplo. Tomamos en $\mathbb{R}$ la topología usual, $A=\{0\}\cup[1,2]$ y $B=\{0\}$. Entonces $B$ es un abierto en $(A,\tau_{|A})$ y por tanto, $int(B)^A=B$. Sin embargo $int(B)=\emptyset$. Esto nos hace pensar que la propiedad que se tiene es
$$int(B)\cap A\subset int(B)^A.$$
Efectivamente, si $x\in int(B)\cap A$, entonces existe un entorno $U$ de $x$ en $X$ tal que $U\subset B$. En particular, $U\cap A\subset B\cap A=B$. Ya que $U\cap A$ es un entorno de $x$ en la topología relativa $\tau_{|A}$ y como $x\in A$, entonces $x\in int(B)^A$.
El ejemplo anterior nos dice que no tiene porqué ser cierta la igualdad.
Os dejo que penséis que sucede con la frontera y el exterior.
Lo que se le ocurre a uno es que se tendría $int(B)^A=int(B)\cap A$. Veamos un ejemplo. Tomamos en $\mathbb{R}$ la topología usual, $A=\{0\}\cup[1,2]$ y $B=\{0\}$. Entonces $B$ es un abierto en $(A,\tau_{|A})$ y por tanto, $int(B)^A=B$. Sin embargo $int(B)=\emptyset$. Esto nos hace pensar que la propiedad que se tiene es
$$int(B)\cap A\subset int(B)^A.$$
Efectivamente, si $x\in int(B)\cap A$, entonces existe un entorno $U$ de $x$ en $X$ tal que $U\subset B$. En particular, $U\cap A\subset B\cap A=B$. Ya que $U\cap A$ es un entorno de $x$ en la topología relativa $\tau_{|A}$ y como $x\in A$, entonces $x\in int(B)^A$.
El ejemplo anterior nos dice que no tiene porqué ser cierta la igualdad.
Os dejo que penséis que sucede con la frontera y el exterior.
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