miércoles, 12 de octubre de 2011

Topología inducida en R

(Una vez empezado el curso, vamos a continuar con este blog, aunque este año va a ser algo diferente ya que la asignatura acaba en febrero.)

La topología inducida es un concepto fácil de definir pero a veces, cuesta un poco de trabajo en algunas situaciones. El caso que creo que es más ilustrativo es considerar en R la topología usual. Pongo algunos ejemplos.

Un punto $\{x\}$ es un conjunto cerrado pero no es abierto. Consideramos el conjunto de números enteros Z y la topología inducida. El conjunto $\{1\}$ es ahora un conjunto cerrado y abierto en Z.

El intervalo $[0,1)$ no es un conjunto abierto en R. El intervalo $[1,2)$ no es cerrado. Tomamos ahora el intervalo $X=[0,2)$ con la topología inducida. Entonces $[0,1)$ es un conjunto abierto en X y $[1,2)$ es un conjunto cerrado.

Os dejo aquí otro ejemplo, para que penséis. Tomamos X la sucesión $\{1/n;n\in N\}\cup\{0\}$. Estudiar si $\{0\}$ si es un conjunto abierto y si es cerrado en X.

2 comentarios:

  1. Claudio Zalba Olaizola18 de octubre de 2011, 14:19

    El complementario de {0} en X es {1/n : n∈N}, que es abierto ya que se puede expresar como intersección de un abierto de la topología usual en R y el propio conjunto X. Por ejemplo (0,2)∩X. Por tanto {0} es cerrado en X.
    Una base de la topología inducida en X sería β={(a,b)∩X : a<b, a,b∈R}={(1/n,1/(n+k)):k∈N}∪{0} Por tanto el cero se puede expresar como unión de elementos de la base ya que pertenece a ella y de ahi se concluye que {0} es abierto en la topología inducida.

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