lunes, 17 de octubre de 2011

Diferentes distancias, misma topología

Cada distancia en un conjunto da una topología. Es conocido que diferentes distancias pueden dar la misma topología, es decir, las distancias son equivalentes. El ejemplo que se pone habitualmente es el de $R^n$ con las tres distancias habituales que se definen en dicho conjunto.

Quiero mostrar aquí otro ejemplo. Sea $X$ un conjunto y se definen dos distancias $d$ y $d'$ del siguiente modo: si $x=y$, $d(x,x)=d'(x,x)=0$ y si $x\not=y$, entonces
$$d(x,y)=1,\ d'(x,y)=2.$$
Observar que las bolas no son iguales. Así, $B_2(x)=X$ y $B_2'(x)=\{x\}$.

Entonces la topología que induce $d$ es la misma que $d'$, y es justamente la topología discreta. Para ello basta tomas bases de entornos de $x\in X$:
$$\beta_x=\{B_r(x);0 < r < 1\}=\{\{x\}\}.$$ $$\beta_x'=\{B_r(x);0 < r < 2\}=\{\{x\}\}.$$ Pero el espacio topológico que tiene por base de entornos el propio punto es el espacio discreto.

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