domingo, 23 de octubre de 2011

Continuando con la frontera

De nuevo esta entrada tiene que ver con la frontera de un conjunto y con una propiedad que tiene el interior y la adherencia de un conjunto. Se sabe que en un espacio topológico $(X,\tau)$, si $A\subset B\subset X$ entonces $int(A)\subset int(B)$. La pregunta que propongo es si es cierto la propiedad análoga para la frontera, es decir, si $Fr(A)\subset Fr(B)$.

Y si no es cierta esta inclusión, buscar alguna relación entre las dos fronteras, si la hubiera, claro.

Pongo un pequeño ejemplito en la topología usual de R. Si $A=(0,1)$ y $B=[0,1]$. Entonces $Fr(A)=Fr(B)$, luego aquí se da la inclusión. Y lo mismo, si cambiamos $A$ por $A=\{0,1\}$.

6 comentarios:

  1. Daniel Lopez Aguayo24 de octubre de 2011, 4:55

    1) Si $A \subset B$ entonces $Fr(A)$ no necesariamente está contenido en $Fr(B)$. Contraejemplo: sea $\mathbb{R}$ con su topología usual y $A=\mathbb{Q}$, $B=\mathbb{R}$. Entonces por un lado $Fr(A)=\mathbb{R}$ y por otro lado $Fr(B)=\emptyset$.

    2) Si $A \subset B$ entonces $Fr(B)$ no necesariamente está contenido en $Fr(A)$. Contraejemplo: sea $\mathbb{R}$ con la topología cofinita. Entonces se puede verificar que cualquier conjunto infinito es denso en esta topología y claramente los conjuntos finitos son cerrados. Luego sea $A =\{0,1\}$ y $B=[0,1]$ entonces $Fr(A)=\{0,1\}$ mientras que $Fr(B)=\mathbb{R}$.

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  2. Daniel Lopez Aguayo24 de octubre de 2011, 6:27

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  3. Daniel Lopez Aguayo24 de octubre de 2011, 6:29

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  4. Daniel Lopez Aguayo31 de octubre de 2011, 13:33

    Si $A \subset B$ entonces $Fr(B)$ no necesariamente está contenido en $Fr(A)$. Contraejemplo: sea $\mathbb{R}$ con la topología cofinita. Se puede verificar que cualquier conjunto infinito es denso en esta topología y claramente los conjuntos finitos son cerrados. Luego sea $A=\{0,1\}$ y $B=[0,1]$ entonces $Fr(A)=\{0,1\}$ mientras que $Fr(B)=\mathbb{R}$. Otro ejemplo sería tomar $\mathbb{R}$ pero ahora con topología usual y $A=[0,1]$, $B=[0,2]$. Una relación que se tiene es cuando $A$ y $B$ son conjuntos separados, es decir: si $(X,\tau)$ es un espacio topológico, $A,B$ subconjuntos de $X$ tales que $\overline{A} \cap B = A \cap \overline{B} = \emptyset$ entonces $Fr(A \cup B)=Fr(A) \cup Fr(B)$.

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  5. Daniel Lopez Aguayo31 de octubre de 2011, 13:45

    $Si A \subset B$ entonces $Fr(A)$ no necesariamente está contenido en $Fr(B$). Contraejemplo: sea $\mathbb{R}$ con su topología usual y sean $A=\mathbb{Q}$, $B=\mathbb{R}$. Entonces por un lado $Fr(A)=\mathbb{R}$ y por otro lado $Fr(B)=\emptyset$.

    Por otro lado, si $A \subset B$ entonces $Fr(B)$ no necesariamente está contenido en $Fr(A)$. Contraejemplo: sea $\mathbb{R}$ con la topología cofinita. Se puede verificar que cualquier conjunto infinito es denso en esta topología y claramente los conjuntos finitos son cerrados. Luego sean $A=\{0,1\}$ y $B=[0,1]$ entonces $Fr(A)=\{0,1\}$ mientras que $Fr(B)=\mathbb{R}$. Otro ejemplo sería tomar $\mathbb{R}$ pero ahora con su topología usual y $A=[0,1]$, $B=[0,2]$.

    Una relación que se tiene es cuando $A$ y $B$ son conjuntos separados, es decir: si $(X,\tau)$ es un espacio topológico, y $A$,$B$ son subconjuntos de $X$ tales que $\overline{A} \cap B = A \cap \overline{B}=\emptyset$, entonces $Fr(A \cup B)=Fr(A) \cup Fr(B).

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  6. Daniel Lopez Aguayo31 de octubre de 2011, 13:54

    Si $A \subset B$ entonces $Fr(A)$ no necesariamente está contenido en $Fr(B)$. Contraejemplo: sea $\mathbb{R}$ con su topología usual y sean $A=\mathbb{Q}$, $B=\mathbb{R}$. Entonces por un lado $Fr(A)=\mathbb{R}$ y por otro lado $Fr(B)=\emptyset$.

    Tampoco se tiene inclusión en el sentido contrario, es decir: si $A \subset B$ entonces $Fr(B)$ no necesariamente está contenido en $Fr(A)$. Contraejemplo: sea $\mathbb{R}$ con la topología cofinita. Se puede verificar que cualquier conjunto infinito es denso en esta topología y claramente los conjuntos finitos son cerrados. Luego sean $A=\{0,1\}$ y $B=[0,1]$ entonces $Fr(A)=A$ mientras que $Fr(B)=\mathbb{R}$. Otro ejemplo sería tomar $\mathbb{R}$ pero ahora con topología usual y $A=[0,1]$, $B=[0,2]$.

    Una relación que se tiene es cuando $A$ y $B$ son conjuntos separados, es decir: si $(X,\tau)$ es un espacio topológico, y $A$,$B$ son subconjuntos de $X$ tales que $\overline{A} \cap B = A \cap \overline{B} = \emptyset$, entonces $Fr(A \cup B)=Fr(A) \cup Fr(B)$.

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