Un blog de la asignatura "Topología I" del Grado en Matemáticas de la Universidad de Granada
lunes, 18 de abril de 2011
¿Sólo quitar un punto?
Consideramos un espacio topológico $(X,\tau)$ y $p\in X$. Sea $A=X-\{p\}$ con la topología inducida. Considerando la inclusión de $A$ en $X$, ¿es $X$ una compactificación por un punto de $A$? Razonar las respuestas.
Pregunta: X debe ser compacto cierto? si no lo es como podría ser una compactificacion? (lo pregunto porque solo comienza diciendo $(X,\tau)$ un espacio..
Como dice anónimo, el espacio dado tiene que ser compacto. Además, para que sea la compactificación por un punto, $A$ no puede ser compacto. Con esto vemos que $A$ no puede ser cerrado (la compacidad es hereditaria a cerrados, contradicción) La inclusión, obviamente, es embebimiento.
Solo faltaría ver que $i(A)=A$ es denso en $X$ Si no lo fuera significa que existe un entorno de $p$ que no corta a $A$ Pero el único conjunto que contiene a $p$ que no corta a A es $\{p\}$ Esto nos dice que $\{p\}\in\tau$ por lo que $X- \{p\}=A$ es cerrado y, lo que nos interesa, compacto en $X$.
Pero ya dijimos antes que $A$ no era compacto.
Por lo tanto es la compactificación por un punto de $(A,\tau_{|A}$
Pregunta: X debe ser compacto cierto? si no lo es como podría ser una compactificacion? (lo pregunto porque solo comienza diciendo $(X,\tau)$ un espacio..
ResponderEliminarComo dice anónimo, el espacio dado tiene que ser compacto.
ResponderEliminarAdemás, para que sea la compactificación por un punto, $A$ no puede ser compacto. Con esto vemos que $A$ no puede ser cerrado (la compacidad es hereditaria a cerrados, contradicción)
La inclusión, obviamente, es embebimiento.
Solo faltaría ver que $i(A)=A$ es denso en $X$
Si no lo fuera significa que existe un entorno de $p$ que no corta a $A$
Pero el único conjunto que contiene a $p$ que no corta a A es $\{p\}$
Esto nos dice que $\{p\}\in\tau$ por lo que $X- \{p\}=A$ es cerrado y, lo que nos interesa, compacto en $X$.
Pero ya dijimos antes que $A$ no era compacto.
Por lo tanto es la compactificación por un punto de $(A,\tau_{|A}$