viernes, 18 de marzo de 2011

Calentar monedas y el Teorema de Tietze

Consideramos una moneda y supongamos que calentamos el borde de la misma (la temperatura en dicho borde no tiene porqué ser constante, si no que puede variar de punto a punto). Nos preguntamos si es posible calentar toda la moneda de forma que la temperatura en el borde sea la que hemos prefijada. La respuesta es afirmativa y nos lo asegura el Teorema de Tietze. De nuevo, este teorema, como el del lema de Urysohn de la entrada anterior, entra dentro de ese imaginario matemático formado por teoremas de "existencia" o "extensión".

El Teorema de Tietze nos dice que en un espacio topológico normal, si C es un cerrado y $f:C\rightarrow R$ una aplicación continua, entonces f se puede extender de forma continua a todo X, es decir, existe una aplicación continua $F:X\rightarrow R$ tal que $F=f$ en C. Lo "curioso" del teorema es que lo útil del mismo es la existencia pero no cómo es la función F, que de todas formas, es impresionantemente farragosa. Si volvemos a la moneda, nos imaginamos que la misma es el subconjunto de $R^2$ dado por $D=\{(x,y);x^2+y^2\leq 1\}$ y $C=\{(x,y)\in D;x^2+y^2=1\}$, que es cerrado en D. El conjunto D es un espacio métrico, luego es normal. La función temperatura que tenemos prefijada en el borde es una aplicación $f:C\rightarrow R$, que es continua (la temperatura de un punto a otro cercano cambia poco). Entonces la aplicación F que nos da el Teorema de Tietze nos dice cómo calentar la moneda D de forma que en el borde dicha temperatura coincida con la f dada. (Si queréis ver diferentes demostraciones del Teorema de extensión de Tietze, os recomiendo: "El Teorema de extensión de Tietze", F. García, M. L. Puertas, Divulgaciones Matemáticas Vol. 10 (2002), 63-78).

(Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas y cuyo blog anfitrión es Gaussianos.)

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