miércoles, 23 de febrero de 2011

Arcos en la topología del punto incluido

Dado un conjunto $X$, $p\in X$ un elemento fijo y $\tau$ la topología del punto incluido para dicho punto, sabemos que $(X,\tau)$ es un espacio arcoconexo. Se quiere mostrar que dado el punto $p$ y otro $q$, hay muchos arcos que los une. El que se dio en clase fue $\alpha(t)=p$ si $t\in [0,1/2)$ y $\alpha(t)=q$ si $t\geq 1/2$. Pero otro arco puede ser el siguiente: $\beta(t)=p$ si $t\in [0,1/4)$ y $\beta(t)=q$ si $t\in [1/4,1]$. Son arcos diferentes, aunque la imagen es la misma.

Tomamos ahora $X=\mathbb{R}$, $p=0$. Con la misma topología del punto incluido, el segmento que une $p$ con otro punto $q$ NO es un arco, porque no es continua. Recordamos que el segmento está dado por $\alpha(t)=(1-t)p+tq=tq$. Si tomamos $O=\{0\}$, entonces $alpha^{-1}(O)=\{0\}$ que no es abierto en $[0,1]$.