viernes, 17 de diciembre de 2010

Topología inducidas de productos topológicos

La topología inducida en $\mathbb{Z}$ como subconjunto de $(\mathbb{R},\tau_u)$ es la discreta. Uno se imagina los subconjuntos (con topologías inducidas) de $\mathbb{R}^n$ con la topología discreta como conjuntos con "puntos aislados". Es claro que hay que decir primero qué topología se está considerando en $\mathbb{R}^n$.

Si $\tau_S$ es la topología de Sorgenfrey de $\mathbb{R}$, sabemos que la topología inducida en el conjunto $A=\{(x,-x);x\in\mathbb{R}\}$ como subconjunto de $(\mathbb{R}^2,\tau_S\times\tau_S)$ es la discreta. Este conjunto no es un conjunto de "puntos aislados". Por otro lado, considerando el mismo espacio producto, la topología inducida en $B=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ es también la discreta.

(Comparando con el anterior párrafo) Consideramos en $\mathbb{R}$ la topología $\tau$ generada por los intervalos de la forma $[a,\infty)$. Se puede comprobar que si tomamos $(\mathbb{R}^2,\tau\times\tau)$, la topología inducida en $A$ es la discreta, pero en $B$ ¡no es la discreta!

1 comentario:

  1. Para lo dicho en el último párrafo.
    Una base de entornos de un punto $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ es $\beta_{(x,y)}=\beta_x\times\beta_y=\{[x,\infty)\times[y,\infty)\}$ \\
    Entonces una base de entornos de un punto del conjunto $A$, que es de la forma $(x,-x)$ es: $\beta_{(x,-x)}^A=\{[x,\infty)\times[-x,\infty)\cap A\}=\{(x,-x)\}$\\
    Esto nos dice que la topología inducida en $A$ es, efectivamente, la discreta.\\
    Si ahora hacemos lo mismo para el conjunto $B=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ tenemos que si $(n,m)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z},\ \beta_{(n,m)}^B=\{[n,\infty)\times[m,\infty)\cap B\}=\{(a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} : a\geq n, b\geq m\}$. Y esto no es una base de entornos de la topología discreta.

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