jueves, 2 de diciembre de 2010

La diagonal principal

Dado un conjunto X, la diagonal principal es el subconjunto de $X\times X$ dado por
$$D=\{(x,x);x\in X\}.$$
Este conjunto NO es un producto cartesiano de DOS subconjuntos de X, a no ser que X tenga sólo un elemento. Efectivamente, supongamos $D=A\times B$, para ciertos conjuntos A y B. Sean $x,y\in X$, $x\not=y$. Como
$(x,x),(y,y)\in A\times B$, entonces $x,y\in A\cap B$. Por tanto $(x,y)\in A\times B=D$, es decir, $x=y$: contradicción.

Sabemos de clase que si $(X,\tau)$ es un espacio topológico, entonces $(D,(\tau\times\tau)_{|D})$ es homeomorfo a $(X,\tau)$.

Finalmente, si queremos estudiar la continuidad de cierta aplicación que llega a D, NO podemos decir que será continua si su composición con las proyecciones que salen de D, también son continuas, ya que no hay tales proyecciones.

No hay comentarios:

Publicar un comentario