Sea $R$ con la topología a derechas. Recuerdo (de clase) que la sucesión $\{\frac{1}{n}\}$ converge a $x=-80$, ya que para el entorno de la base de entornos de $x$, esto es, $U=[-80,\infty)$, todos los elementos de la sucesión pertenecen a $U$.
En general, teníamos carecterizadas la sucesiones convergentes del siguiente modo: $\{x_n\}\rightarrow x$ si y sólo si, a partir de un cierto lugar, $x\leq x_n$.
Cambiemos de topología en $R$ y consideremos $T$ la que tiene por base $\beta=\{(a,\infty);a\in R$. Una base de entornos de x es $\beta_x=\{(x-1/n,\infty);n\in N\}$. Por tanto, si una sucesión, a partir de un cierto lugar, satisface $x\leq x_n$, entonces converge a $x$. Sin embargo, no es cierto el recíproco. Así, la sucesión $\{-1/n\}$ converge a $0$, pues dado un entorno $U=(-1/m,\infty)$, si $n\geq m$, entonces $1/n\in U$.
Por tanto, hay sucesiones convergentes en T que no lo son en la topología a derechas.
En general, teníamos carecterizadas la sucesiones convergentes del siguiente modo: $\{x_n\}\rightarrow x$ si y sólo si, a partir de un cierto lugar, $x\leq x_n$.
Cambiemos de topología en $R$ y consideremos $T$ la que tiene por base $\beta=\{(a,\infty);a\in R$. Una base de entornos de x es $\beta_x=\{(x-1/n,\infty);n\in N\}$. Por tanto, si una sucesión, a partir de un cierto lugar, satisface $x\leq x_n$, entonces converge a $x$. Sin embargo, no es cierto el recíproco. Así, la sucesión $\{-1/n\}$ converge a $0$, pues dado un entorno $U=(-1/m,\infty)$, si $n\geq m$, entonces $1/n\in U$.
Por tanto, hay sucesiones convergentes en T que no lo son en la topología a derechas.
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