martes, 8 de diciembre de 2009

Homeomorfismos con topologías conocidas II

Volviendo a las topologías "con nombre", nos podemos preguntar si alguna topología con nombre coincide con otra. Me refiero a lo siguiente. Por ejemplo, consideramos R con la topología usual, y N el conjunto de los números naturales con la topología inducida de la usual. Entonces dicha topología es la topología discreta (¡una topología con nombre!).

¿Sería posible buscar más ejemplos? Otro caso es el siguiente. Sea R con la topología a derechas, es decir, la que está generada por los intervalos de la forma [a,\infty). Si tomamos de nuevo N con la topología inducida, entonces la topología inducida es la generada por los conjuntos de la forma B_n=\{n,n+1,\ldots,\},, es decir, ¡otra topología con nombre!

Otro ejemplo final. Sea R con la topología de Sorgenfrey, y N el conjunto de los números naturales, con la topología inducida. Si tomamos abiertos de la forma [x,x+1) y lo intersecamos con N, resulta que cada conjunto de la forma \{n\} es un abierto. Luego la topología inducida es la discreta ¡otra con nombre!

Os animo a que busquéis más ejemplos.

3 comentarios:

  1. Pedro Jesus Barragan14 de diciembre de 2009, 20:24

    He encontrado un ejemplo con la topología producto que me ha sorprendido bastante:
    Si consideramos (R,Td) donde Td denota la topología discreta en R y (R,Tu), donde Tu es la topología usual de R, tenemos que (RxR, Td x Tu) coincide con la topología (RxR, Tol), donde Tol es la topología del orden lexicográfico. ¡Ya tenemos otra topología con nombre!

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  2. O.o.. ¿cuál es la topología del orden lexicográfico?

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  3. Yo escribí ésto acerca de las topologías con nombre

    http://img710.imageshack.us/img710/792/topologasconelmismonomb.jpg

    http://img42.imageshack.us/img42/792/topologasconelmismonomb.jpg

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