Homemorfismo y la plastilina

Habitualmente, cuando uno oye hablar de la Topología siempre escucha cosas como que "la Topología es la ciencia de la plastilina" o que "La Topología es la geometría de las figuras de goma". En la Wikipedia se afirma que es "Geometría de la página de chicle". La idea es que la Topología estudia las propiedades invariantes por homeomorfismos.

Un homeomorfismo puede imaginarse como una deformación bicontinua (aplicación biyectiva, continua e inversa continua) ya que en una "deformación", puntos próximos va a puntos próximos (continuidad). No está permitido en la deformación "cortes" o "pegamiento", ya que esto viola la biyectividad.

Con esta entrada quiero mostrar que hay que tener cuidado con todo lo anterior, es decir, con las expresiones entrecomilladas. Concretamente, lo anterior se asume si nos estamos imaginando objetos en el espacio euclídeo con la topología usual.

Si pincháis aquí veréis una ejemplo muy intuitivo de lo que es un homeomorfismo. Un objeto, una taza, pasa a ser una rosquilla mediante un homeomorfismo. ¿cuáles son los espacios topológicos? Subconjuntos del espacio euclídeo (taza y rosquilla) con la topología usual. Por esta razón, podemos "ver" el homeomorfismo como una deformación, ya que la deformación del vídeo es "visual" (no paro de entrecomillar).

En la Wikipedia se afirma que "un triángulo es topológicamente lo mismo que una circunferencia, ya que podemos transformar uno en otra de forma continua, sin romper ni pegar. Pero una circunferencia no es lo mismo que un segmento, ya que habría que partirla por algún punto." Claro, todo ello, aunque no se dice, es con la topología usual.

Pero si la topología cambia (incluso con objetos del espacio), entonces es difícil (si no imposible) saber qué es una deformación. Si uno asume que las topologías son las discretas, entonces toda aplicación biyectiva es homeomorfismo. Un ejemplo no trivial y que puede ser útil. Consideramos dos conjuntos X e Y ambos con la topología de los complementos finitos. Entonces toda aplicación biyectiva entre ellos es un homeomorfismo. Recordar que en esta topología, dos entornos de sendos puntos ¡siempre se intersecan!

Cogemos ahora un círculo y un segmento y consideramos en ellos la topología de los complementos finitos. Como ambos tienen el mismo cardinal (el de R), son biyectivos. Entonces cualquier aplicación biyectiva entre el círculo y el segmento es "una deformación considerando la topología de los complementos finitos".

Esto nos asegura pues, como se afirma en la Wikipedia, que "El intentar visualizar los conceptos es un error frecuente entre los principiantes en la Topología, que les hace avanzar muy lentamente cuando no pueden encontrar un ejemplo gráfico, tener una visión parcial de algunos conceptos, e incluso incurrir en errores. Es frecuente entre los estudiantes primerizos escuchar que "no entienden la Topología" y que no les gusta esa rama, y generalmente se debe a que se mantienen en esta actitud gráfica."

Último ejemplo de "deformación rara". Consideramos R con la topología a derechas. Entonces toda aplicación creciente es continua. Por tanto, la aplicación f(x)=x si x es menor que 0 y x+1 si es mayor o igual que 0 es un homeomorfismo de R en R. Sin embargo es una aplicación que "rompe" la recta real: rompe si vemos R con la topología usual, no con la topología a derechas.

Por el contrario, la aplicación f(x)=-x no es un homeomorfismo (no es creciente); sin embargo con la topología usual (tanto en el dominio como el codominio) es un homeomorfismo: la deformación consiste sólo en girar la recta euclídea.

(dedicado a Rajoy)