jueves, 12 de noviembre de 2009

Continuidad en un punto/continuidad en un espacio

Recuerdo el ejemplo que hoy se ha hecho en clase sobre continuidad. Se considera f(x)=x^2 entre (R,Tu) y (R,Ts), donde Tu es la topología usual y Ts la de Sorgenfrey.

Estudiar la continuidad de f es algo diferente de estudiar en qué puntos es continua. En nuestro caso, en un primer paso vimos claramente que f^{-1}([1,4))=[1,2)\cup (-2,-1] , que no pertenece a Tu. Por tanto, la aplicación no es continua. Aunque para otros abiertos, por ejemplo, [-1,1), se tenía f^{-1}([-1,1))=(-1,1) que sí es abierto en la topología usual. Por tanto, la aplicación no es continua, pero hay abiertos en Ts cuya imagen recíproca sí es abierto en la topología usual. ¿Esto nos ayuda a saber en qué puntos la función es continua?

Cuando hemos tomado abiertos de la forma [a,b), si su imagen inversa es abierto, entonces f es continua en una preimagen de a. Por ejemplo, tomamos [0,1). Entonces f^{-1}([0,1))=(-1,1),, luego f es continua en x=0. Podemos observar que los únicos elementos de la base usual de Ts, de la forma [a,b), cuya imagen inversa es abierto en la usual son aquéllos en los que a\leq 0. Por tanto, f sólo es continua en el punto x=0, y no es continua en el resto de los puntos del dominio.

1 comentario:

  1. Vale, y qué utilidad le podemos dar a ésto de cambiar topologías?

    Por ejemplo, tengo un experimento con animales, y sigo para alguna medicación o para otra cosa una gráfica f(x)=x, sé que no se detiene nunca porque siempre es "continua" y puedo hacerle transformaciones como una restricción, entre [0,60], que son los segundos, los que dura mi experimento, pero puede poner un ejemplo así, a modo de Epi y Blas, al cual se le cambien las topologías para algo que podamos ver, nosotros los "pequeños prototipos de topología (jajaja)" ?

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