lunes, 1 de junio de 2009

Cosiendo los intervalos de la recta real

Definimos una relación de equivalencia en la recta de los números reales que identifica cada uno de los intervalos de la forma $[2n,2n+1]$ donde $n\in\mathbb{Z}$. Es decir, $xRy$ si existe $n$ tal que x e y pertenecen a algún intervalo de la forma $[2n,2n+1]$. Esta relación lo que hace es que dichos intervalos se convierten en un punto en el conjunto cociente, como si cosiéramos el intervalo; y los intervalos de la forma $(2n+1,2n)$ se dejan tal como están.

Es evidente que el espacio cociente es homeomorfo a $\mathbb{R}$. Para ello basta definir la aplicación f(x)=n, si x está en un intervalo de la forma $[2n,2n+1]$ y $f(x)=(x-1)/2$, si $x$ está en un intervalo de la forma $[2n+1,2n+2]$. Esta aplicación es continua y la relación $R_f=R$. Por otro lado, aparte de ser sobreyectiva, es cerrada (no es abierta). Así $f$ es una identificación, que induce un homeomorfismo entre $\mathbb{R}/R$ y $\mathbb{R}$

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