Un blog de la asignatura "Topología I" del Grado en Matemáticas de la Universidad de Granada
martes, 16 de junio de 2009
Compactificación por un punto
Sea un espacio compacto $X$ y $p$ un punto suyo. Me pregunto si es cierto que una compactificación de $X-\{p\}$ es $X$, considerando la inclusión $i:X-\{p\}\hookrightarrow X$.
Diría que no en general. Aquí va un contraejemplo: Consideremos X={a,b} con la topología discreta (todo los subconjutnos son abiertos) y consideremos por otra parte Y={c,d} con la topología indiscreta (los únicos abiertos son el vacío y el total).
Al quitar un punto X-{p}=Y-{p} y su compactificación por un punto también es igual.
Sin embargo X es distinto de Y (Y es conexo y X no).
Para Anónimo 2: creo que este comentario no está relacionado directamente con la pregunta que hago. Pareces que quieres decir que X-{p} e Y-{p} son homeomorfos (que no iguales), cada uno de ellos está incluido en espacios topológicos compactos, a los cuales se le ha añadido sólo un punto, y finalmente, los espacios X e Y no son homeomorfos. Esto quiere decir que un mismo espacio topológico (en este caso, el formado por un único elemento) puede tener diferentes compactificaciones por un punto.
Puede que por abuso del lenguaje diga iguales cuando quiero decir homeomorfos. Mis disculpas por ello.
No recuerdo exactamente como era la compactificación por un punto, pero sí recuerdo que era un proceso, y sí X es homeomorfo a Y tienen compactificaciones por un punto homeomorfas.
Así, lo que quería decir era, que, o bien X; o bien Y (o bien los dos) no satisfacen la condición del enunciado.
Hasta aquí lo que quería decir. Voy a ver si recuerdo la compacificación por un punto y la realizo para un punto.
La compactificación por un punto; de un punto {q} (que es homeomorfo a X-{p} y a Y-{p}), sería la siguiente: El espacio topológico sería {p,r}; y como abiertos habría que añadir {r}. Por lo tanto la compactificación por un punto de un punto es el espacio discreto de dos elementos.
Una pregunta, ¿Tiene sentido hablar de la compacitficación de un espacio compacto?
La compactificación de Alexandroff de un espacio compacto no es compacto, así que la compactificación por un punto de un espacio finito no es compacto, luego en realidad no podemos hablar de compactificación. En general, yo creo que tiene sentido hablar de una compactificación de un espacio compacto, ya que el mismo espacio con la aplicación identidad forman una compactificación trivial de este espacio.
La compactificación de Alexandroff por un punto se define para un espacio NO compacto (y algunas más propiedades). En el ejemplo de la entrada, la compactificación no tiene que ser la de Alexandroff. Recuerdo qué significa compactificación. Sea X un espacio y f:X->Y. Se dice que (Y,f) es una compactificación de X si f es un homeomorfismo entre X y f(X), Y es compacto y f(X) es denso en Y. Si Y-f(X) tiene un punto, entonces se dice que es una compactificación por un punto.
Vaya rollo que tienes
ResponderEliminarDiría que no en general.
ResponderEliminarAquí va un contraejemplo:
Consideremos X={a,b} con la topología discreta (todo los subconjutnos son abiertos) y consideremos por otra parte Y={c,d} con la topología indiscreta (los únicos abiertos son el vacío y el total).
Al quitar un punto X-{p}=Y-{p} y su compactificación por un punto también es igual.
Sin embargo X es distinto de Y (Y es conexo y X no).
Saludos
Para Anónimo 2: creo que este comentario no está relacionado directamente con la pregunta que hago. Pareces que quieres decir que X-{p} e Y-{p} son homeomorfos (que no iguales), cada uno de ellos está incluido en espacios topológicos compactos, a los cuales se le ha añadido sólo un punto, y finalmente, los espacios X e Y no son homeomorfos. Esto quiere decir que un mismo espacio topológico (en este caso, el formado por un único elemento) puede tener diferentes compactificaciones por un punto.
ResponderEliminarPuede que por abuso del lenguaje diga iguales cuando quiero decir homeomorfos. Mis disculpas por ello.
ResponderEliminarNo recuerdo exactamente como era la compactificación por un punto, pero sí recuerdo que era un proceso, y sí X es homeomorfo a Y tienen compactificaciones por un punto homeomorfas.
Así, lo que quería decir era, que, o bien X; o bien Y (o bien los dos) no satisfacen la condición del enunciado.
Hasta aquí lo que quería decir. Voy a ver si recuerdo la compacificación por un punto y la realizo para un punto.
La compactificación por un punto; de un punto {q} (que es homeomorfo a X-{p} y a Y-{p}), sería la siguiente: El espacio topológico sería {p,r}; y como abiertos habría que añadir {r}. Por lo tanto la compactificación por un punto de un punto es el espacio discreto de dos elementos.
Una pregunta, ¿Tiene sentido hablar de la compacitficación de un espacio compacto?
Saludos
La compactificación de Alexandroff de un espacio compacto no es compacto, así que la compactificación por un punto de un espacio finito no es compacto, luego en realidad no podemos hablar de compactificación. En general, yo creo que tiene sentido hablar de una compactificación de un espacio compacto, ya que el mismo espacio con la aplicación identidad forman una compactificación trivial de este espacio.
ResponderEliminarLa compactificación de Alexandroff por un punto se define para un espacio NO compacto (y algunas más propiedades). En el ejemplo de la entrada, la compactificación no tiene que ser la de Alexandroff. Recuerdo qué significa compactificación. Sea X un espacio y f:X->Y. Se dice que (Y,f) es una compactificación de X si f es un homeomorfismo entre X y f(X), Y es compacto y f(X) es denso en Y. Si Y-f(X) tiene un punto, entonces se dice que es una compactificación por un punto.
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