jueves, 4 de junio de 2009

Compacidad y adherencia

Probar que en un espacio Haussdorff, la adherencia de conjunto compacto también es compacto.

Poner un contraejemplo de que no es cierto el resultado si el espacio no es Haussdorff.

2 comentarios:

  1. En un espacio T2 todos los conjuntos compactos son cerrados, luego es evidente que la adherencia es compacto puesto que coincide con el conjunto.
    Si el espacio no es Haussdorff, por ejemplo X con la topología del punto incluído ( p ), si cogemos el conjunto {p} que es compacto vemos que su adherencia no lo es, puesto que en este caso la adherencia es todo el conjunto X que ya se vio en su momento que no era compacto.

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  2. Otro contraejemplo:

    (R,td)
    En la topología a derechas vimos que un subconjunto A es compacto sii tiene mínimo.
    Por tanto tomamos A compacto (cualquier subconjunto que tenga mínimo) y sabemos que su adherencia tiene que ser un cerrado, pero por la caracterización de compacto, ningún cerrado es compacto. Por tanto, la adherencia no puede ser compacta.

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