viernes, 15 de mayo de 2009

¿Se lleva bien la separación y el cociente?

Consideramos un espacio topológico $X$ y una relación de equivalencia $R$. Me pregunto por ejemplos no triviales (si los hubiera) de:
  1. $X$ es $T_1$ pero $X/R$ no es $T_1$.
  2. $X/R$ es $T_1$ pero $X$ no es $T_1$.
  3. $X$ es $T_2$ pero $X/R$ no es $T_2$.
  4. $X/R$ es $T_2$ pero $X$ no es $T_2$

6 comentarios:

  1. X es T_2 pero X/R no es T_2.

    Si consideramos el intervalo X = [-1,1] y R la relación definida por la partición {{-1},{1},{-x,x}si x pertenece a (-1,1)}, en clase hemos visto que el espacio cociente no es hausdorf, sin embargo, X es un subconjunto de R^2, y por tanto hausdorff (propiedad hereditaria)

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  2. El siguiente resultado englobaría los ejemplos del tipo 1y2:
    Tomamos un espacio (X,t), con una relación de equivalencia R, entonces X/R es T1 sii las clases de equivalencia de todo punto, vistas como un subconjunto de X son conjuntos cerrados.

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  3. Si consideramos el conjunto de los números reales R y la relación de equivalencia xSy si x=y ó x,y pertenecen a (-infinito,0), entonces R es T_2, pero R/S no es T_2, ya que cualquier entorno de [0] corta a la clase de [-1].

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  4. Me he expresado mal, quería decir que todo entorno de [0] contiene a [-1], por lo que [-1] y [0] no se pueden separar por entornos.

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  5. Concideramos (X,T_CF) y la relación de equivalencia xRy si x=y ó x,y pertenecen a un subconjunto A abierto DISTINTO de X. Ya se vio que un conjunto con la topología de los complementos finitos es T1 . En cambio, X/R no es T1, ya que esta propiedad falla en el caso de este tipo de par de puntos: x pertenece a A e y pertenece al complementario de A (X-A, que es finito).

    La clase de equivalenia de x es [x]={aeX; aeA}.
    Y la de y es [y]={{y}}.

    Un entorno de [x] puede ser el mismo [x],ya que p^1([x]) es A que es abierto en X. Vemos que este entorno no contiene a [y]. Pero cualquier entorno de [y] va a contener a [x]. Esto se prueba de la siguiente forma:

    Los entornos de [y] en X/R son U[y]={p(U);UeUy, U=R[U]}.

    Con esta relación de equivalencia definida:
    La saturación de un conjunto B es:
    R[B]=
    B si A y B son disjuntos
    AUB si A y B no son disjuntos

    Un subconjunto B es saturado si:
    A y B son disjuntos (BcX-A)
    ó
    AcB

    Sabiendo esto, el MENOR entorno de y saturado es U={A unión {y}} (tiene que contener a la fuerza a A ya que al ser entorno tiene que ser abierto y en este caso lo queremos saturado). Entonces p(U)=U' pertenece a U[y]
    y U'= ([y] unión [x]). Da igual el entorno de y saturado que cojamos, que siempre p(de ese entorno) va a estár formado por [x] y otras clases de equivalencia.

    Por lo tanto X/R es T0 pero no T1. Y así tenemos un ejemplo de espacio T1 cuyo espacio cociete ,con cierta relación de equivalencia, no es T1.

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  6. Una aclaración: cuando al principio he dicho que esta propiedad T1 falla en el caso de ese tipo de par de puntos, me refería a puntos tomados de X, que luego al aplicarles la aplicación proyección darán las clases de equivalencia [x] e [y] que son los elementos de X/R con los que se trabaja para probar que este no es T1.

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