viernes, 27 de marzo de 2009

Operaciones topológicas y compacidad

¿Cómo se comporta la propiedad de compacidad respecto de las operaciones topológicas?
  1. ¿El interior de un compacto es compacto?
  2. ¿La adherencia de un compacto es compacto?
  3. ¿El exterior de un compacto es compacto?
  4. ¿La frontera de un compacto es compacto?

Buscad ejemplos de que sí o de que no. Estudiad también si hay un resultado que diga, por ejemplo, "la adherencia de un conjunto compacto es compacto" y similares en los otros casos. También si hay que poner alguna hipótesis más para que sea cierto el resultado.

Empiezo yo con dos ejemplos.

A) En un espacio Haussdorff, la adherencia de un compacto es un conjunto compacto: evidente, ya que un compacto debe ser cerrado, luego coincide con su adherencia.

B) En la topología discreta, se sabe que los compactos son los conjuntos finitos. Por tanto, si A es un conjunto compacto (es finito), entonces su interior, su adherencia y su frontera son compactos pero su exterior nunca es compacto: el interior y la adherencia de A es A, la frontera es el conjunto vacío y el exterior es el complementario de A.

6 comentarios:

  1. El interior de un compacto no es necesariamente compacto, por ejemplo, en R con la topología usual el intervalo [0,1] es compacto, porque es cerrado y acotado, pero su interior, que es el intervalo (0,1) no es compacto, ya que no es cerrado.

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  2. También, con el mismo ejemplo anterior, el exterior de un compacto tampoco tiene que ser compacto necesariamente.En R con la topología usual, el exterior de [0,1] es (-infinito,0) unión (1,+infinito), que no es compacto, ya que no está acotado.

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  3. Buscar ejemplos en la recta Euclídea ya se hizo en clase. Quiero más ejemplos.

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  4. Si estamos en un espacio finito, todo subconjunto es finito, por tanto, creo que la respuesta a todas las preguntas anteriores es sí

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  5. perdon me he equivocado, todo subconjunto es compacto

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  6. El interior de un compacto no tiene por qué ser compacto: un espacio métrico sabemos que es Haussdorff, y en un espacio que cumple esta propiedad, sabemos que un subconjunto que es compacto es cerrado.Por otro lado, el interior de todo subconjunto el abierto, pero en los espacios metricos los abiertos no son cerrados, y por tanto el interios no puede ser compacto

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