miércoles, 4 de marzo de 2009

La caracterización de espacio regular

Se ha caracterizado un espacio regular como aquél que cada punto tiene una base de entornos cerrados. En el espacio trivial, la (única) base de entornos para cada punto está formada por un único entorno, que es el espacio total, el cual es evidentemente cerrado. Por tanto, la topología trivial es regular. Este espacio no es Haussdorff.

Del mismo modo, la topología de los complementos finitos no es regular, ya que ningún entorno de un punto es cerrado: si U es un entorno de un punto, dentro existe un abierto O, es decir, un conjunto cuyo complementario es finito. Entonces X-U está incluido en X-O, y por tanto, X-U es finito. Como consecuencia, U no es finito (porque X es infinito), y no se puede ser cerrado.

La caracterización permite probar que la propiedad es hereditaria (en clase se había demostrado usando la definición de regularidad). En efecto, si X es un espacio regular, A un subconjunto suyo y x un elemento de A, se sabe que existe una base de entornos cerrados (en X). Intersecamos dicha base con A. Se sabe que es una base de entornos en la topología relativa de A. Además, cada intersección es un cerrado en A (intersección de un cerado de X con el conjunto A). Por tanto, A es un espacio regular.

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