Si X es un conjunto con la topología de los complementos finitos, y X no es numerable, entonces no es ANI.
Supongamos que lo fuera y sea
\beta_x=\{X-F_n;F_n\mbox{finito}, n\in N\} una base numerable de entornos de x. Como X noes numerable, tomamos un elemento y que no pertenece a ningún F_n con y\not= x. El conjunto U=X-\{y\} es un entorno de x, pero no existe algún conjunto F_n tal que X-F_n\subset X-\{y\}.Queda por estudiar si X satisface la propiedad ANII, tanto si X es numerable como no.
Pienso que X satisface ANII sii es numerable:
ResponderEliminar=> si no es numerable, hemos visto que no satisface ANI, pero sabemos que ANII => ANI, por tanto No ANI => No ANII.
<= Si X es numerable, entonces, la topología es numerable, y por tanto podemos encontrar una base numerable, es decir, satisface ANII
R no es numerable y es ANII con la topología usual
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