domingo, 8 de febrero de 2009

La esfera cornuda de Alexander

Más sobre el teorema de la curva de Jordan. El teorema de la curva de Jordan tiene una continuación con el Teorema de Schönflies que dice lo siguiente. Recordemos que una curva de Jordan es un conjunto homeomorfo a un círculo \mathbb{S}^1, es decir, es una curva cerrada que no se autointerseca. Sea C una curva de Jordan del plano \mathbb{R}^2. Entonces las dos componente conexas \mathbb{R}^2-C son homeomorfas a las dos componentes conexas \mathbb{R}^2-\mathbb{S}^1. En particular, una de las componentes es homeomorfa a un disco abierto.

Una pregunta natural es si el resultado se generaliza a más dimensiones. Sea S una superficie cerrada que no se autointerseca homeomorfa a una esfera \mathbb{S}^2. Entonces el teorema análogo al de Jordan dice que \mathbb{R}^3-S tiene dos componentes conexas. Nos preguntamos si las componentes conexas de \mathbb{R}^3-S son homeomorfas a las componentes conexas de \mathbb{R}^3-\mathbb{S}^2.

Respuesta: No. El ejemplo más famoso es la esfera cornuda de Alexander. Podéis ver un video en aquí, e información en wikipedia.

Cualquiera de las componentes conexas de \mathbb{R}^3-\mathbb{S}^2 son contráctiles, es decir, todo lazo se puede deformar en un punto. Sin embargo, en las componentes conexas del complementario de la esfera de Alexander existen lazos que no se pueden reducir a un punto. Podéis ver más información aquí que está en el enlace "Juegos topológicos" de este blog.

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