Un arco en un espacio topológico es una curva continua. Nos podemos imaginar los arcos como trozos de cuerdas en el espacio. Un espacio se dice que es arcoconexo si dos puntos cualesquiera se pueden unir por un arco. Además es una propiedad topológica. En clase estudiaremos algunas propiedades y estudiaremos si ciertos espacios son o no arcoconexos. Por ejemplo, el espacio que era el grafo de la función sen(1/x) junto el origen (0,0) no es arco-conexo (aunque era conexo).
Es evidente que tanto la corona circular como el disco abierto son arcoconexos. En el segundo vale como arco el segmento que une dos puntos (por ser convexo). En el primero vale con tomar trozos de círculos junto con segmentos.
Un lazo es un arco cuyo origen y final coinciden (lo que todo el mundo entiende por 'lazo'). Se dice que un espacio es contráctil si todo lazo se puede deformar (por otros lazos) en un punto. Se entiende que cuando se deforma no nos 'salimos' del espacio topológico. El ser contractil es una propiedad topológica. No es difícil: sólo hay que definir qué significa una 'deformación', por lo demás, es dejarse llevar.
Para acabar, es evidente que en el disco abierto, todo lazo se puede deformar en un punto, como aparece en el dibujo de la izquierda. En la corona circular hay lazos que sí tienen esta propiedad, como sucede con el lazo amarillo. Pero hay otros que no la tienen, como el lazo rojo, que al 'rodear' el agujero que determina la corona impide que se pueda deformar en un punto (sin salirse de la corona, claro). Se concluye que la corona no es contráctil, y por tanto, no es homeomorfa al disco.
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