sábado, 31 de enero de 2009

Sierpinski

El espacio de Sierpinski $(X,\tau)$ se define del siguiente modo: $X=\{a,b\}$ y $\tau=\{\emptyset,X,\{a\}\}.$ Para un estudiante podría ser un ejemplo de "una nueva definición que sólo sirve para fastidiarme". Por cierto, ¿sirve para algo? y cuando digo "sirve" significa si tiene utilidad en la vida de la calle.

Me preguntaba si el espacio de Sierpinski fue definido por el propio Sierpinski: esta es la motivación de esta entrada.

Waclaw Sierpinski (1882-1969) fue un matemático polaco que trabajó en teoría de números, teoría de conjuntos y topología. Podemos decir entonces que hacía "matemáticas duras". Es relativamente sorprendente para un estudiante (y para mí) de que muriera relativamente hace poco (1969), ya que estamos acostumbrados durante la licenciatura a estudiar resultados de matemáticos clásicos como Gauss, Lagrange, Fermat, etc. Podéis leer una biografía de Sierpinski en http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Sierpinski.html en su "Version for printing". Por cierto, dicha vida fue algo agitada por el devenir de las guerras mundiales del siglo XX.

Si uno va a internet y escribe simplemente "Sierpinski" se dará cuenta que es famoso por una serie de fractales que llevan su nombre. Cito algunos:

En este caso, sí fue el propio Sierpinski quien construyó (he puesto el año). También existe la pirámide de Sierpinski. Hay un cráter de la Luna que lleva su nombre. A grosso modo, los conjuntos fractales son conjuntos que se construyen a partir de un modelo que se repite una infinitud de veces. Más infórmación la podéis encontrar aquí y también aquí. Lo sorprendente es que estos conjuntos no tienen dimensión entera: un conjunto tiene dimensión 1 si localmente es como una curva; dimensión 2 si es como una superficie, y así sucesivamente. Los conjuntos fractales tienen dimensión, por ejemplo, 1'5. En el caso concreto del triángulo de Sierpinski tiene dimensión log(3)/log(2).

También existen los números de Sierpinski. Tanto le gustaba al propio Sierpinski los números que en su tumba reza "Waclaw Sierpinski, 1882-1969, explorador del infinito".

Sobre la utilidad, en varios sitios de internet uno puede leer que The Sierpinski space has important relations to the theory of computation and semantics.

Para acabar, me ha sido imposible averigurar si fue Sierpinski el que ideó el espacio topológico que lleva su nombre. Lo único que he visto en la red es algo así como "It is named after Waclaw Sierpinski.", es decir, en honor a Sierpinski.

viernes, 30 de enero de 2009

Topología a derechas

En la recta de número reales $\mathbb{R}$ se definió la topología a derechas como aquélla que tiene por base $\beta=\{[x,\infty);x\in {\mathbb R}\}.$ Esta construcción se puede generalizar a conjuntos ordenados. Antes de decir cómo es la topología, pongamos un ejemplo que no sea $\mathbb{R}$ con el orden usual. Sea $Y$ un conjunto arbitrario y $X={\cal P}(Y)$ el conjunto de todos los subconjuntos de $Y$. En $X$ se puede definir el siguiente orden $\leq$: para $A,B\in X$ se define $A\leq B$ si $A\subset B.$

De forma más general, sea $X$ un conjunto con una relación de orden $\leq$. Para cada elemento $x$ de $X$, se define $S_x=\{y\in X;x\leq y\}$. Se considera ahora $\beta=\{S_x;x\in X\}.$ Entonces $\beta$ es base de una cierta topología Td que se llama la topología a derechas de $X$ para la relación de orden $\leq.$ Es evidente que en el caso particular $X=\mathbb{R}$ y $\leq$ el orden usual de números reales, entonces se tiene la topología definida al principio, ya que $S_x=[x,\infty).$

Igual que se hizo en $(\mathbb{R},\leq)$, se puede probar que si $f:(X,\leq)\rightarrow (X,\leq)$ es una aplicación, entonces f es continua si y sólo si $f$ es creciente.

El espacio topológico $(X,Td)$ es conexo, ya que dos elementos de la base de topología siempre se intersecan.

Es muy fácil demostrar el siguiente resultado: sea $A$ un subconjunto de $X$. En $A$ existe un orden inducido $(X,\leq)$ y que denotaremos de la misma forma $\leq$. Entonces se puede probar que la topología inducida de Td en $A$ es la topología a derechas que hay en $A$ con la relación de orden $\leq$.

domingo, 25 de enero de 2009

Antes del primer parcial

Ya he puesto en internet las soluciones del examen del tema 4.

Vuelvo a recordar que aquellas personas que hayan obtenido más de 5 en la media de los cuatros temas tendrá como mínimo dicha nota para el primer parcial. Si quiere subir nota, tiene que hacer dicho examen el próximo miércoles. A los que han tenido menos de 5 se le tendrán en cuenta (para subir) en la nota del primer parcial. Las notas saldrán en la semana de vuelta a clase.

Cualquier duda puede ser realizada a través de un correo electrónico antes del miércoles 28.

También recuerdo que hay unos ejercicios propuestos en la entrada del 15 de enero: ejercicios con Latex y algunos de ellos para hacerlos en grupos. Y también recordar que entradas en el blog así como comentarios cuenta en la nota del alumno a lo largo del curso.

miércoles, 21 de enero de 2009

Conexión: interior, frontera, ...

Sea A un subconjunto de un espacio topológico. En el caso de que A sea conexo, nos preguntamos si su interior, adherencia, frontera y exterior son conjuntos conexos. También al revés. Lo vemos en ejemplos:
  1. El conjunto A es conexo pero no su exterior: en R, sea $A=(0,1)$. Entonces $ext(A)=(-\infty,0]\cup[1,\infty)$ no es conexo al no ser un intervalo.
  2. Se sabe que si $A$ es conexo, también lo es su adherencia.
  3. El conjunto $A$ es conexo pero su frontera no es conexa: en el ejemplo anterior, Fr(A)={0,1}, que de nuevo no es conexo.
  4. El conjunto $A$ es conexo, pero no interior: en $\mathbb{R}^2$, sea $$A=\overline{B_1(0,0)}\cup \overline{B_1(0,3)}. $$
    Entonces $$int(A)=B_1(0,0)\cup B_1(0,3) $$
    que no es conexo al ser la igualad anterior una partición por abiertos no trivial.

Ahora hacemos al revés.

  1. El conjunto A no es conexo, pero sí su adherencia: en $\mathbb{R}$, sea $A=(0,1)\cup (1,2)$. Entonces A no es conexo y $\overline{A}=[0,2]$ es conexo.

  2. El conjunto $A$ no es conexo pero su exterior es conexo: sea $A=(-\infty,0]\cup (1,\infty)$ que no es conexo, pero $ext(A)=(0,1)$ sí lo es.

  3. El conjunto $A$ no es conexo pero su frontera es conexa: sea $A=(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ que no es conexo pero $Fr(A)=\{0\}$ es conexo.

  4. El conjunto no es conexo pero sí su interior: sea $A=(3,4)\cup\{5\}$ que no es conexo pero $int(A)=(3,4)$.

(por Azahara)

martes, 20 de enero de 2009

Espacios totalmente disconexos

Un espacio topológico se dice que es totalmente disconexo si los únicos subconjuntos conexos están formados por conjuntos unitarios. Es lo mismo que decir que todas las componentes conexas son conjuntos unitarios.

No hay ninguna relación entre este concepto y el de conexión local. Por ejemplo, Q es totalmente disconexo pero no es localmente conexo. Por otro lado, $\mathbb{R}$ es localmente conexo y no es totalmente disconexo.

Ejemplos de espacios de este tipo son:

  1. Espacio topológico discreto.
  2. El conjunto de los números racionales con su topología usual.
  3. La recta de Sorgenfrey $(\mathbb{R},S)$.

¿Cómo distinguir estos tres espacios topológicos usando conexión? (suponemos que el primero es $\mathbb{R}$ con la topología discreta D.) En primer lugar, ninguno es conexo. Por otro lado, todas las componentes conexas tienen el mismo número de elementos (¡1!).

En primer lugar $(\mathbb{R},T)$ es localmente conexo y los otros dos. Esto distingue este espacio de los demás. Una manera para $\mathbb{Q}$ y $(\mathbb{R},S)$ es que "el número de componentes conexas" es un invariante topológico. En $\mathbb{Q}$ hay tantas como elementos, es decir, infinito y numerable. En $(\mathbb{R},S)$ hay tantas como elementos hay en R, es decir, infinito no numerable.

Sin usar conexión, es posible distinguir los tres espacios. Por ejemplo, en (R,D) todo elemento tiene una base de entornos formados por un punto; en los otros dos no. Para distinguir Q y $(\mathbb{R},S)$ usamos una propiedad que salió en los temas 1 y 2: en $\mathbb{Q}$ hay una base numerable de abiertos (la que había en R e intersecarla con Q), pero en (R,S) no. Esto último cuesta algo más de trabajo. Si existira tal base $\beta=\{O_n;n\in N\}$, para cada número real existe $n(x)$ (existen muchos, pero elegimos uno usando el Axioma de Elección) tal que $x\in O_{n(x)}\subset [x,x+1)$. La aplicación de R en el conjunto de los número naturales dada por $x\longmapsto n(x)$ es inyectiva, lo que daría una contradicción: si $n(x)=n(y)$, entonces $$O_{n(x)}\subset [x,x+1)\cap [y,y+1),\ x,y\in O_{n(x)}\Rightarrow x=y.$$

Conexión y espacios de matrices

Consideramos el espacio de matrices cuadradas de orden n $gl(n,R)$, con su topología usual, es decir, la que viene de identificar dicho conjunto con $R^{n^2}$. Estudiamos la conexión de dos subconjuntos suyos: el espacio de matrices regulares $Gl(n,R)$ y el espacio de matrices ortogonales O(n).

Se toma la aplicación determinante $det:gl(n,r)\rightarrow {\mathbb R}$. Esta aplicación es continua. Por otro lado, ya que las matrices regulares y las ortogonales tienen determinante no cero, se puede escribir $$Gl(n,R)=(Gl(n,R)\cap det^{-1}((-\infty,0)))\cup ( Gl(n,R)\cap det^{-1}((0,\infty)))$$ $$O(n)=(O(n)\cap det^{-1}((-\infty,0))\Big)\cup ( O(n)\cap det^{-1}((0,\infty)))$$
donde la aplicación det es la restricción en los correspondientes conjuntos (por tanto continua).
Concluimos que es posible encontrar una partición por abiertos no trivial de ambos espacios, es decir, no son conexos (es fácil encontrar matrices en cada uno de los abiertos).

Para el caso de $O(n)$ podemos decir también que la aplicación $det:O(n)\rightarrow \{-1,1\}$ es continua y no sobreyectiva y por tanto, el espacio no es conexo.

Si tomáramos el espacio de matrices ortogonales de determinante 1, $SO(n)$, no podemos hacer lo mismo que antes y no concluir si es o no concexo. (por Azahara)

domingo, 18 de enero de 2009

Número de intersección de un punto

El número de intersección n(x) de $x\in (X,\tau)$ es el número de componentes conexas de $X-\{x\}$. Si $p$ es un número natural, $m(p)$ es el cardinal del conjunto $\{x;n(x)=p\}$. El número $m(p)$ es un invariante topológico.

Para un intervalo $(0,1)$, $n(x)=2$ para todo $x$ y $m(2)$ es infinito. En $[0,1)$, $m(1)=1$. En $[0,1]$, $m(1)=2$. En particular, los tres conjuntos anteriores no son homeomorfos entre sí.

El conjunto formado por los dos ejes coordenados de $\mathbb{R}^2$ satisface $m(4)=1$ y $m(2)$ es infinito. En la circunferencia $\mathbb{S}^1$ , $m(2)=0$. En dos circunferencias tangentes, $m(2)=1$ y $m(1)$ es infinito. Por tanto, tampoco son homeomorfos entre sí.

jueves, 15 de enero de 2009

LaTex y problemas para plantear

Voy a proponer varios problemas para subir nota. Todo es opcional y voluntario.

1) En Latex, hacer un documento donde aparezcan todas las entradas del blog día a día. Sería desde que se empezó hasta el final del cuatrimestre (31 de enero). Esto es relativamente fácil, ya que es copiar y pegar (Crt+C y Ctr+V). También con los comentarios correspondientes de cada entrada.

2) Realizar en LaTex un documento donde aparezcan todos los espacios topológicos que han aparecido en el primer cuatrimestre. Sería el nombre del espacio, su definición y en la medida de lo posible, las demás formas de cómo viene dado. Un ejemplo sería el siguiente: La recta euclídea R. Es el conjunto de números reales R y una base de abiertos es la familia de intervalos abiertos. Además se sabe una base de entornos: una base de entornos de cada punto son los intervalos abiertos centrados en dicho punto.

3) Realizar en LaTex un documento donde aparezcan invariantes topológicos y por otro lado espacios topológicos diciendo si lo satisface o no. Un ejemplo sería el siguiente: propiedad "conexión"; el espacio discreto NO si tiene más de un punto; el espacio trivial SI, y así sucesivamente.

4) Realizar un documento Latex escribiendo los problemas y soluciones de los ejercicios que se han entregado y que se encuentra en la fotocopiadora.

Se organizaría en grupos. Para el ejercicio 1) sería dos grupos de dos personas cada uno. Para el ejercicio 2) un grupo de cuatro personas. Para el 3) un grupo de tres personas y para el 4) sería individuales, asignándose para cada uno un número limitado de problemas.

Quedaría establecer los grupos que sería una labor de los propios alumnos, según sus afinidades y circunstancias.

Fechas a realizar: ya que están próximos los exámenes del primer cuatrimestre, serían para realizarlos al acabar ellos y con fecha límite, alrededor del 15 de marzo. Serviría para subir nota para el segundo cuatrimestre.

Importante: fechas, grupos, formas de trabajar, etc: todo ello flexible, discutible y negociable.

Como ya se puede uno imaginar, problemas análogos se pueden hacer en el segundo cuatrimestre, pero eso lo dejamos por ahora.

miércoles, 14 de enero de 2009

Espacios euclídeos y conexión

Hemos probado hoy en clase que $\mathbb{R}$ no es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$, $n>1$ (con topologías usuales). Y para eso se ha usado un argumento de conexión. Sin embargo para distinguir topológicamente $\mathbb{R}^2$ de $\mathbb{R}^3$ es necesario tener más herramientas, exactamente, el concepto de grupo fundamental. Éste se estudiará en Topología II (asignatura optativa de cuarto curso).

En general, para distinguir topológicamente R^n de $\mathbb{R}^m$ es necesario estudiar grupos de homología (la asignatura es Topología Algebraica). Por tanto, aunque es "evidente" que $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}^m$ son homeomorfos si y sólamente si n=m, la prueba de ello necesita de conceptos más profundos, tanto de Topología como de Álgebra.


Puede uno comparar esta situación con la facilidad que se demostraba que $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}^m$ no son isomorfos como espacios vectoriales si n no es m: tienen distinta dimensión. Es un resultado de inicios de Geometría I en primer curso de Licenciatura.


Por tanto, resulta un poco chocante para un alumno de la Licenciatura en Matemáticas que para probar que $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}^m$ no son homeomorfos haya que "esperar" hasta los dos últimos años de carrera.

La recta de Sorgenfrey no es conexa

La recta de Sorgenfrey no es conexa porque $\mathbb{R}=(-\infty,0)\cup [0,\infty) es una partición por abiertos no trivial.

En particular, hay conjuntos que son abiertos y cerrados a la vez. Este es el caso del conjunto $[0,1)$: es evidente que es abierto, y su complementario, $(-\infty,0 )\cup [1,\infty)$ es abierto.

Nos preguntamos ahora qué subconjuntos de la recta de Sorgenfrey son conexos. Si c es un número real, los conjuntos $(-\infty,c)$y $(c,\infty)$ son abiertos. Por tanto, usando el mismo razonamiento que el que se hizo con la recta euclídea, si un conjunto es conexo, debe ser un intervalo. Nos queda por responder a la pregunta de qué intervalos son conexos. Basta darse cuenta que si I es un intervalo con más de dos puntos, si c es un punto intermedio, podemos escribir $\mathbb{R}I=(I\cap (-\infty,c))\cup (I\cap [c,\infty))\mathbb{R}$, lo que prueba que si un intervalo es conexo debe tener sólo un punto.

Teorema: los únicos conjuntos conexos de la recta de Sorgenfrey son los conjuntos unitarios.

lunes, 12 de enero de 2009

Demostración topológica de la infinitud de números primos

Algunos alumnos me han pedido que ponga en el blog algunas "curiosidades". Pues aquí va una: hay una demostración topológica de que el conjunto de números primos es infinito. Recuerdo que hay un teorema de Euclides que dice "el conjunto de números primos es infinito". Podéis verla aquí.

Pero hay una demostración del resultado mediante métodos topológicos. Cuando vi la demostración en el blog de gaussianos me quedé sorprendido porque, en principio, la Topología y la Teoría de Números no tiene nada que ver. Pero ya he comentado algunas veces en clase que la Topología es una herramienta muy poderosa en Matemáticas, especialmente la Topología Algebraica. Y cuando digo "poderosa" significa dos cosas: una, es que permite realizar avances importantes y profundos en cualquier área de las Matemáticas; y segundo, es que, estudiando y trabajando con un problema (no topológico), a veces es necesario usar Topología para resolverlo, lo cual es sorprendente. Esto lo digo por experiencia propia.

La demostración en gaussianos la podéis ver aquí. La idea es definir una topología en el conjunto de los números enteros Z y observar algunas propiedades. La demostración es totalmente asequible (¡sólo se usa la definición de espacio topológico!). Por cierto, y en relación al tema que tenemos ahora entre manos, Z con la topología que se define no es conexo (hay conjuntos abiertos y cerrados).

domingo, 11 de enero de 2009

Conexión como invariante topológico

La conexión es un invariante topológico y como tal, se puede usar para distinguir espacios topológicos. Un ejemplo típico es el siguiente: la unión de dos intervalos abiertos y disjuntos no es homeomorfo a un intervalo abierto, pues el primero no es conexo y el segundo sí.

Sin embargo, más sorprendente es la siguiente forma de usar la conexión para distinguir dos espacios que son conexos.

1) [0,1) y (0,1) no son homeomorfos, aunque ambos son conexos. Si hubiera un homeomorfismo f entre [0,1) y (0,1), entonces [0,1)-\{0\}=(0,1) y (0,1)-\{f(0)\} serían homeomorfos. Sin embargo el primero es conexo y el segundo no, al no ser un intervalo: contradicción.

2) La recta euclídea R no es homeomorfa al círculo S^1 (sin embargo ambos son espacios conexos). El argumento es análogo al anterior. Si f es un homeomorfismo entre R y S^1, entonces R-\{0\} es homeomorfo a S^1-\{f(0)\}. El primer espacio no es un intervalo, luego no es conexo. El segundo es S^1 menos un punto. Este espacio es homeomorfo a R (a través de la proyección estereográfica), y así conexo: contradicción.

jueves, 8 de enero de 2009

Conexión y trozos

El espacio topológico discreto no es conexo. Pero además está muy lejos de ser conexo. Concretamente, el espacio no es conexo porque cualquier subconjunto es abierto y cerrado a la vez, pero es que en este espacio, ¡cada punto es abierto y cerrado! Por tanto, si nos hacemos una idea de los "trozos" de que está constituido podemos afirmar que hay tantos trozos como puntos hay en el conjunto.

Si un espacio es conexo, está formado por un único "trozo", cuando el espacio no es conexo y estamos imaginándonos sus trozos, estamos asumiendo que cada uno de esos trozos es conexo. Volviendo al espacio discreto, un conjunto A={p,q} formado por dos puntos es abierto y cerrado a la vez, pero no es un trozo del espacio porque A no es conexo.

Resumiendo, al hablar de trozos de un espacio queremos decir subconjuntos del espacio, que son conexos, pero son lo más grandes posibles sin perder la propiedad de conexión. Un último ejemplo. Sea H: x^2+y^2-z^2=-1 el hiperboloide de dos hojas. Escribimos H=H_+\cup H_{-}, separando, respectivamente, la parte de arriba y la de abajo. El conjunto H no es conexo porque tanto H_+ como H_{-} son abiertos y cerrados. Pero justamente estos dos conjuntos son los trozos del hiperboloide, es decir, subconjuntos lo más grandes posibles que siguen siendo conexos (cada uno es homeomorfo al plano R^2, que es conexo).

Curso de LaTeX

Con vistas a usar un editor adecuado para escribir textos matemáticos, voy a dar un curso de LaTeX en este mes de enero (para empezar la semana que viene). El curso es voluntario, aunque se dará 2'5 puntos para el examen del tema 4

El nivel será básico, pero permitirá empezar a escribir textos al menos a nivel de "tomar apuntes de clase". Se realizará en el aulario de informática de la Facultad de Ciencias y pienso que con 4 horas será suficiente

Para que el curso tenga sentido y provecho será necesario instalar el programa en el ordenador personal. El programa (MikTex) es gratuito y se actualiza solo a través de internet. También hace falta instalar un editor adecuado (por ejemplo, WinEdt

Aunque las clases se harán en la Facultad, cualquiera puede llevar su ordenador portátil y practicar allí con en el mismo. Luego en casa podrá uno ampliar conocimientos. En Internet hay muchos cursos básicos de LaTeX, así como manuales.

Las personas que quieran apuntarse, bastan que me lo digan o me envíen un correo electrónico (hasta el domingo).