jueves, 27 de noviembre de 2008

"Ser o no ser...homeomorfos"

La técnica para probar que dos espacios son homeomorfos es completamente distinta a la de probar que no lo son. Para el primer caso, si $X$ e $Y$ son dos espacios topológicos de los cuales sospechamos que sí son homeomorfos hay que encontrar explícitamente un homeomorfismo entre ellos. La dificultad radica en definir dicho homeomorfismo.

Por el contrario, si lo que se quiere es probar que no son homeomorfos, hay que encontrar una propiedad topológica (P) que satisfaga uno de los espacios pero no el otro. En esta situación lo que hay que tener es un gran número de propiedades topológicas que podamos testar con cada unos de los espacios, hasta encontrar una que nos sirva.

Por otro lado, si (P) es una propiedad topológica que satisface ambos espacios topológicos, entonces no podemos deducir nada. Es más, espacios que no son homeomorfos pueden satisfacer ambos algunas propiedades topológicas.

Consideremos $X=[0,1]$ e $Y=(0,1)$, ambos con la topología usual. Como $X$ e $Y$ son espacios métricos satisfacen la propiedad (P) de separar puntos por entornos disjuntos. Esto nos quiere decir que debemos buscar otra propiedad. La propiedad (Q) de que toda función continua alcanza un máximo la satisface $X$, pero no $Y$. Por tanto $X$ e $Y$ no son homeomorfos.

Sea ahora el conjunto de los números reales R con la topología discreta $\tau_D$ y la topología usual $\tau_u$. Entonces $(\mathbb{R},\tau_D)$ y $(\mathbb{R},\tau_u)$ no son homeomorfos. Uno puede sospechar que basta con estudiar la aplicación identidad. Hay que decir que no es suficiente. Sabemos que la aplicación identidad de $(\mathbb{R},\tau_u)$ a $(\mathbb{R},\tau_D)$ no es un homeomorfismo, pero podría haber otro homeomorfismo (distinto de la identidad) entre ambos espacios topológicos.

Supongamos que hay un homemorfismo f entre $(\mathbb{R},\tau_D)$ y $(\mathbb{R},\tau_u)$. Se toma el conjunto $A=\{1\}$. Este conjunto es abierto en $(\mathbb{R},\tau_D)$ pero su imagen, a saber, $f(A)=\{f(1)\}$, es un conjunto formado por un único número y por tanto, no es abierto en la topología usual $\tau_u$. Concluimos que ambos espacios no son homeomorfos (en verdad se está usando la siguiente propiedad topológica (P): "todo conjunto del espacio es abierto".)

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